【題目】已知橢圓的左.右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形的邊長為 的正方形.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點滿足,連結,交橢圓于點.證明: 的定值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問軸上是否存在異于點,的定點,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點,若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ) 存在,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點.

【解析】

試題(I)由于四邊形為正方形,所以,由此求得橢圓方程為.(II)設出直線的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出點坐標,代入可求得值為.(III)設出點的坐標,利用圓的直徑所對圓周角為直角的幾何性質得到,結合(II)將的坐標代入上式,可求得.

試題解析:(Ⅰ)由題意得,

,

所以所求的橢圓方程為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,

由題意可設,

因為

所以

整理得:

因為

所以,

所以

(Ⅲ)設,則

若以為直徑的圓恒過,的交點,則,

所以恒成立

由(Ⅱ)可知,

所以

恒成立.

所以

所以存在,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點.

練習冊系列答案
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