【題目】某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）.若第 1 年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬(wàn)元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的 50％.現(xiàn)用()表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價(jià)值.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，企業(yè)經(jīng)過(guò)成本核算，若 萬(wàn)元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問(wèn)該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列）.

【答案】(1) ();(2)12

【解析】

(1)由題意可得:第1年至第6年時(shí)為遞減等差數(shù)列,易求;從第7年開(kāi)始為以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,則可求得;

(2)由(1)知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則也是單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng)時(shí),易求100萬(wàn)元;當(dāng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算判斷萬(wàn)元,萬(wàn)元,則可得第12年年初更換車床.

(1)由題意可得在第1年至第6年時(shí)數(shù)列為以為首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,所以可得在第7年開(kāi)始數(shù)列是以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列，則可求得,

綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式 ();

(2)由(1)知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則由題意得新數(shù)列即也是單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng)時(shí),（萬(wàn)元）,所以前六年不用更換車床;

當(dāng)時(shí),

由（萬(wàn)元）,（萬(wàn)元）,且是單調(diào)遞減數(shù)列,可得當(dāng)時(shí),（萬(wàn)元）恒成立,所以該企業(yè)必須在第12年年初更換車床.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左．右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形的邊長(zhǎng)為 的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若,分別是橢圓長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn)．證明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn),的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)直線,的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是某地區(qū)2012年至2018年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖.

注：年份代碼分別表示對(duì)應(yīng)年份.

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)（線性相關(guān)較強(qiáng)）加以說(shuō)明；

（2）建立與的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2019年該區(qū)生活垃圾無(wú)害化處理量.

（參考數(shù)據(jù)），，，，，，.

（參考公式）相關(guān)系數(shù)，在回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為雙曲線: 的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線C于點(diǎn)，且

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)P和Q且 （其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍;

（3）過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)R作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為M,N，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有如下正確結(jié)論：為曲線（、為非零實(shí)數(shù)，且不同時(shí)為負(fù)）上一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)的切線方程為．

(1)已知為橢圓上一點(diǎn),為過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線，若直線與直線的斜率分別為與,求證：為定值；

(2)過(guò)橢圓上一點(diǎn)引橢圓的切線,與軸交于點(diǎn)．若為正三角形,求橢圓的方程；

(3)求與圓及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線：命題：若存在，使得成立.

（1）如果命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）如果“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱臺(tái)的底面是正三角形，平面平面，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若和梯形的面積都等于，求三棱錐的體積.

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【題目】已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，與直線：（為常數(shù)）相交于點(diǎn).

（1）求證：當(dāng)與垂直時(shí)，必過(guò)圓心；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，探索的值是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出直線MN的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為1，求證直線l必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).

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