【題目】動點與點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為曲線

（1）求曲線的方程

（2）設(shè)點，動點在曲線上運動時，的最短距離為，求的值以及取到最小值時點的坐標

（3）設(shè)為曲線的任意兩點，滿足（為原點），試問直線是否恒過一個定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，說明理由

【答案】（1）；（2）；；（3）恒過定點，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線定義可知軌跡為拋物線，結(jié)合焦點坐標求得曲線方程；

（2）設(shè)，由兩點間距離公式可得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當時，取得最小值，從而構(gòu)造方程求得；利用求得，從而得到點坐標；

（3）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得坐標；由兩點連線斜率公式求得直線斜率，進而得到直線的方程，整理可得恒過的定點坐標.

（1）由拋物線定義可知，動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線

曲線的方程為：

（2）設(shè)

當時，，解得：

此時

（3）由題意知，直線斜率均存在且均不為零，可記為

，與拋物線方程聯(lián)立得：

同理可得： 直線斜率為

直線方程為：

整理可得： 當，時等式恒成立

直線恒過點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（題文）（題文）已知橢圓的左右頂點分別為，，右焦點的坐標為，點坐標為，且直線軸，過點作直線與橢圓交于，兩點（，在第一象限且點在點的上方），直線與交于點，連接.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，問：的斜率乘積是否為定值，若是求出該定值，若不是，說明理由.

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【題目】在中,已知，M是BC的中點.

(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點,且，求的最小值；

(3)若點P是邊BC上的一點,且，求的最小值.

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【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）已知點在第一象限，四邊形是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系中，直線（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（2）設(shè)點直角坐標為，直線與曲線交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左．右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形的邊長為 的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點．證明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問軸上是否存在異于點,的定點,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點,若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（kx+）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一個正整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為 （　�。�

A. [ ，）B. （，]

C. [）D. [）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，現(xiàn)有如下四個結(jié)論：

；平面；

三棱錐的體積為定值；異面直線所成的角為定值，

其中正確結(jié)論的序號是______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中有如下正確結(jié)論：為曲線（、為非零實數(shù)，且不同時為負）上一點,則過點的切線方程為．

(1)已知為橢圓上一點,為過點的橢圓的切線，若直線與直線的斜率分別為與,求證：為定值；

(2)過橢圓上一點引橢圓的切線,與軸交于點．若為正三角形,求橢圓的方程；

(3)求與圓及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標軸圍成的三角形的面積的取值范圍．

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