Question

已知函數(shù)
若在上的最大值和最小值分別記為，求；
設(shè)若對(duì)恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍．

試題分析：（1）若在上的最大值和最小值分別記為，求，由函數(shù)得，求函數(shù)在閉區(qū)間最值，可用導(dǎo)數(shù)法，故求導(dǎo)得，由于，故需對(duì)進(jìn)行討論，分，，三種情況，利用單調(diào)性，分別求出最大值和最小值即可；（2）設(shè)若對(duì)恒成立，求的取值范圍，可令，由，得，即在上的值域是集合的子集，即求在上的最大值和最小值，讓最大值小于等于，最小值大于等于，即可求出的取值范圍，結(jié)合（1）分，，，四種情況討論即可．
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240534577601415.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，由于，
（�。┊�(dāng)時(shí)，有，故，此時(shí)在上是增函數(shù)，因此，，
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，，在上是增函數(shù)，，若，，在上是減函數(shù)，所以，，由于，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，有，故，此時(shí)在上是減函數(shù)，因此，，故，綜上；
（2）令，則，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053458103800.png" style="vertical-align:middle;" />，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以由（I）知，
（�。┊�(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上的最大值是，最小值是，則，且，矛盾；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上的最大值是，最小值是，所以，，從而且，令，則，在上是增函數(shù)，故，因此，
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，
（ⅳ）當(dāng)時(shí)，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，綜上的取值范圍.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最大（最小）值的概念，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證，分類(lèi)討論，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合解題能力．