Question

設(shè)函數(shù) ．
（1） 當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（3）在（2）的條件下，設(shè)是在區(qū)間內(nèi)的零點，判斷數(shù)列的增減性.

Answer 1

（1）極大值，無極小值；（2）詳見解析；（3）數(shù)列是單調(diào)遞減.

試題分析：（1）當(dāng)時，函數(shù)，于是可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值；
（2）當(dāng)時，
要證在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，只要證在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且即可；
（3）先求和，再根據(jù)得到，結(jié)合（2）的結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，從而得到，結(jié)論得證.
解：（1）由已知，得：

由得：
當(dāng)時，單調(diào)遞增
當(dāng)時，單調(diào)遞減
所以是函數(shù)的極大值點，無極小值點
故的極大值為，無極小值.
（2）由已知，得：
∴易得：  于是在區(qū)間內(nèi)存在零點；
又當(dāng)時，恒成立
∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的
故在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點．                   （8分）
解:（3）：數(shù)列是單調(diào)遞減的. 理由如下：       （9分）
由（2）設(shè) 是在內(nèi)唯一的零點，
則
又，
于是
即
由（2）在上是單調(diào)遞增的，
∴當(dāng)時，．
故數(shù)列是單調(diào)遞減的.                  （14分）