Question

若對(duì)任意的x∈D，均有f₁(x)≤f(x)≤f₂(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為函數(shù)f₁(x)到函數(shù)f₂(x)在區(qū)間D上的“折中函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x＋1)ln x，且f(x)是g(x)到h(x)在區(qū)間[1,2e]上的“折中函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．

Answer 1

{2}

法一：依題意可知當(dāng)x∈[1,2e]時(shí)，恒有0≤(k－1)x－1≤(x＋1)ln x成立．
當(dāng)x∈[1,2e]時(shí)，由(k－1)x－1≥0恒成立，可知k≥1＋恒成立，又x∈[1,2e]時(shí)， _max＝2，此時(shí)x＝1，從而k≥2.
當(dāng)x∈[1,2e]時(shí)，由(k－1)x－1≤(x＋1)ln x恒成立，可知k≤＋1恒成立，記
m(x)＝＝ln x＋，
其中x∈[1,2e]．從而m′(x)＝ln x＋－＝，易知當(dāng)x∈[1,2e]時(shí)，x＞ln x(可以建立函數(shù)再次利用導(dǎo)數(shù)證明，)所以當(dāng)x∈[1,2e]時(shí)，m′(x)＞0，所以m(x)在x∈[1,2e]上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以k≤m(x)_min＋1＝m(1)＋1＝2.
綜上所述可知k＝2，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為{2}．
法2：由于本題的特殊性，可看出g(1)＝0，h(1)＝0，由題知g(1)≤f(1)≤h(1)，顯然f(1)＝0，即k＝2.h′(x)＝1＋＋ln x．在[1,2e]上，h′(x)＞1＝f′(x)，故k＝2.