Question

已知函數(shù)，若在上的最小值記為.
（1）求；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，恒有.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053650064419.png" style="vertical-align:middle;" />，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論，①，②，分別用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而確定的值，再用分段函數(shù)表示；（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論，①，②，分別用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而確定的最大值，即可證明當(dāng)時(shí)恒有成立.
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053650064419.png" style="vertical-align:middle;" />，
①當(dāng)時(shí)，
若，則，，故在上是減函數(shù)；
若，則，，故在上是增函數(shù)；
所以，.
②當(dāng)，則，，，故在上是減函數(shù)，
所以，
綜上所述，.
（2）令，
①當(dāng)時(shí)，，
若，得，所以在上是增函數(shù)，所以在上的最大值是，且，所以，
故.
若，，則，所以在上是減函數(shù)，
所以在上的最大值是，
令，則，
所以在上是增函數(shù)，所以即，
故，
②當(dāng)時(shí)，，所以，得，
此時(shí)在上是減函數(shù)，因此在上的最大值是，
故，
綜上所述，當(dāng)時(shí)恒有.