【題目】如圖,矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2, ,CF=6,∠CFE=45°.
(Ⅰ)求證:BF∥平面ADE;
(Ⅱ)在線段CF上求一點G,使銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值為

【答案】證明:(Ⅰ)∵在矩形ABCD中BC∥AD,
AD平面ADE
BC平面ADE,
∴BC∥平面ADE,
同理CF∥平面ADE,
又∵BC∩CF=C,
∴平面BCF∥平面ADE,
而BF平面BCF,
∴BF∥平面ADE.
(Ⅱ)∵CD⊥AD,CD⊥DE
∴∠ADE即為二面角A﹣CD﹣F的平面角,
∴∠ADE=60°
又∵AD∩DE=D,
∴CD⊥平面ADE,
又∵CD平面CDEF
∴平面CDEF⊥平面ADE,
作AO⊥DE于O,則AO⊥平面CDEF.
連結(jié)CE,
在△CEF中由余弦定理


,
易求得,∠ECF=45°,CD=DE=3,OD=1,OE=2.
以O為原點,以平行于DC的直線為x軸,以直線DE為y軸,建立如圖空間直角坐標系O﹣xyz,
,C(3,﹣1,0),E(0,2,0),F(xiàn)(3,5,0),
設G(3,t,0),﹣1≤t≤5,
,

設平面BEG的一個法向量為 ,
則由 ,

,

平面DEG的一個法向量 ,

為使銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值為
只需 ,
解得 ,
此時
∴G(3, ,0).
即所求的點G為線段CF的靠近C端的四分之一分點.

【解析】(1)利用平面與平面平行的判定定理證明平面BCF∥平面ADE,從而得到BF∥平面ADE.(Ⅱ)利用直線與平面,平面與平面垂直的判定定理證明平面CDEF⊥平面ADE,根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知,作AO⊥DE于O,則AO⊥平面CDEF.建立如圖所示空間直角坐標系,寫出點的坐標,利用平面法向量以及銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值確定G點的坐標,從而確定點G的位置.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.

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