Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD的四條側(cè)棱長相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點，求證：
（Ⅰ）PD∥平面ACM；
（Ⅱ）PO⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA=AB，求異面直線PD與CM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OM，正方形ABCD中，OB=OD，
M為PB的中點，
∴PD∥OM，
∵OM面ACM，PD不在面ACM內(nèi)，
∴PD∥面ACM；
（Ⅱ）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，
AC∩BD=O，
∴PO⊥面ABCD．
（Ⅲ）以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵四棱錐P﹣ABCD的四條側(cè)棱長相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點，PA=AB，設(shè)AB=1，
可得：D（﹣ ，﹣ ，0），P（0，0， ），C（ ，﹣ ，0），B（ ， ，0），M（ ， ， ），
可得： =（﹣ ，﹣ ，﹣ ）， =（﹣ ， ， ），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ，
設(shè)異面直線PD與CM所成角為α，
∴sinα=﹣ ．

【解析】（Ⅰ）欲證PD∥面ACM，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PD與面ACM內(nèi)一直線平行即可，連接OM，而OB=OD，則PD∥OM，OM面ACM，PD不在面ACM內(nèi)，滿足定理所需條件；（Ⅱ）欲證PO⊥面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PO與面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，而PA=PC，OA=OC，則PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，滿足定理所需條件；（Ⅲ）以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用cos＜ ， ＞= 可得：異面直線PB與AD所成角．
【考點精析】利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．