Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為.點在橢圓上，直線過坐標原點，若， .

（1）求橢圓的方程；

（2） 設橢圓在點處的切線記為直線，點在上的射影分別為，過作的垂線交軸于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1)利用條件布列方程組，求出橢圓的方程；(2) 直線的方程為： ， ， ，可得： ，又，得，

，又點到直線的距離為，∴.從而得到定值.

試題解析：

（1）設，則，∴，設，由，

，將代入，整體消元得：

，∴

由，

綜合得：橢圓的方程為： .

（2）由（1）知，直線的方程為：

即： ，所以

∴.

∵，∴的方程為，令，可得，∴

則

又點到直線的距離為，∴.

∴.

當直線平行于軸時，易知，結論顯然成立.

綜上， .

（幾何法）

當不在軸時，不妨令在第一象限，直線的方程為，令

∴， ，

∵與垂直，∴，

令，∴

∴

當在軸時， ，