已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè),證明:對(duì)任意,.

(Ⅰ)分類討論得到單調(diào)性      (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)的方法證明.      

解析試題分析:(Ⅰ) f(x)的定義域?yàn)?0,+),  
當(dāng)a≥0時(shí),>0,故f(x)在(0,+)單調(diào)增加;
當(dāng)a≤-1時(shí),<0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少;
當(dāng)-1<a<0時(shí),令=0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時(shí), >0;
x∈(,+)時(shí),<0, 故f(x)在(0, )單調(diào)增加,在(,+)單調(diào)減少   
(Ⅱ)不妨設(shè)x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)單調(diào)減少.
所以等價(jià)于≥4x1-4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.         
令g(x)=f(x)+4x,則+4=.               
于是≤0.
從而g(x)在(0,+)單調(diào)減少,故g(x1) ≤g(x2),即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,
故對(duì)任意x1,x2∈(0,+) ,.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值問題,考查分類討論思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力,屬難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間,分別位于邊長(zhǎng)是的等邊三角形的頂點(diǎn)處(如圖),現(xiàn)要在邊上的點(diǎn)建一倉(cāng)庫(kù),某工人每天用叉車將生產(chǎn)原料從倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往車間,同時(shí)將成品運(yùn)回倉(cāng)庫(kù).已知叉車每天要往返車間5次,往返車間20次,設(shè)叉車每天往返的總路程為.(注:往返一次即先從倉(cāng)庫(kù)到車間再由車間返回倉(cāng)庫(kù))

(Ⅰ)按下列要求確定函數(shù)關(guān)系式:
①設(shè)長(zhǎng)為,將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
②設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式.
(Ⅱ)請(qǐng)你選用(Ⅰ)中一個(gè)合適的函數(shù)關(guān)系式,求總路程 的最小值,并指出點(diǎn)的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知是定義在上的偶函數(shù),且時(shí),
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求函數(shù)的表達(dá)式;
(Ⅲ)若,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),
(1)若,求證:函數(shù)上的奇函數(shù);
(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),
(1)若,求的范圍;   (2)不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某工廠修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池,其容積為4 800立方米,深度為3米.池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元.設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米.
(1)求底面積,并用含x的表達(dá)式表示池壁面積;
(2)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元,設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且
(1)寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)品(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大?
(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線為,若時(shí),有極值.
(1)求的值;
(2)求上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)
⑴解不等式
⑵若不等式的解集為空集,求的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案