【題目】設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為正的直線與E相交于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)A、B分別作直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM、BN分別與x軸相交于M和N.試求|MN|的最小值.
【答案】
【解析】
設(shè),根據(jù)余弦定理,求得,再建立傾斜角和的函數(shù)關(guān)系,再利用三元不等式即可求得的最小值.
設(shè)過橢圓E左焦點(diǎn)F的直線l的傾斜角為,依題意知.
如圖所示,設(shè)F'為橢圓E的右焦點(diǎn),Rt△MAF中,cos∠MFA=,
所以有.
在Rt△NBF中,同理有,所以有:
. ①
連結(jié)BF',在△FBF'中,記|BF|=x,則|BF'|=.
由余弦定理知,
即.
所以有,即. ②
同理有 ③
由②③知.
由①知.
令,則.
根據(jù)均值不等式知.
所以,
等號成立當(dāng)且僅當(dāng),即.
所以當(dāng)且僅當(dāng)時,.
從而當(dāng)且僅當(dāng)時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一種水上闖關(guān)游戲,共設(shè)有3個關(guān)口,如果在規(guī)定的時間內(nèi)闖過了這3個關(guān)口,那么闖關(guān)成功,否則闖關(guān)失敗,結(jié)束游戲.假定小張、小王、小李闖過任何一個關(guān)口的概率分別為,且各關(guān)口能否順利闖過相互獨(dú)立.
(1)求小張、小王、小李分別闖關(guān)成功的概率;
(2)記小張、小王、小李三人中闖關(guān)成功的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)存在正實數(shù)k使得函數(shù)有三個零點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,對恒成立,求的取值范圍.(為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知0<m<2,動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(﹣m,0),F2(m,0)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,若曲線C過點(diǎn).
(1)求m的值以及曲線C的方程;
(2)過定點(diǎn)且斜率不為零的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn).證明:以AB為直徑的圓過曲線C的右頂點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)V是空間中2019個點(diǎn)構(gòu)成的集合,其中任意四點(diǎn)不共面某些點(diǎn)之間連有線段,記E為這些線段構(gòu)成的集合.試求最小的正整數(shù)n,滿足條件:若E至少有n個元素,則E一定含有908個二元子集,其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點(diǎn),且任意兩個二元子集的交為空集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在等腰梯形中,∥,,直角梯形所在的平面垂直于平面,且,.
(1)證明:平面平面;
(2)點(diǎn)在線段上,試確定點(diǎn)的位置,使平面與平面所成的二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個口袋中裝有大小相同的5個小球,編號分別為0,1,2,3,4,現(xiàn)從中隨機(jī)地摸一個球,記下編號后放回,連摸3次,若摸出的3個小球的最大編號與最小編號之差為2,則共有________種不同的摸球方法(用數(shù)字作答).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三位數(shù)中,如果百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字剛好能構(gòu)成等差數(shù)列,則稱為“等差三位數(shù)”,例如:147,642,777,420等等.等差三位數(shù)的總個數(shù)為( )
A.32B.36C.40D.45
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