Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）存在正實(shí)數(shù)k使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時(shí)增區(qū)間為；時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，分和討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）由題易知，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有三個(gè)解，即僅有三解，利用分離參數(shù)法求解即可.

（Ⅰ）（），

①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，得：.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

綜上，時(shí)，的增區(qū)間為，

時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（Ⅱ）由題易知，

即有三個(gè)解，，

即僅有三解，

設(shè)，，

可得，即，

設(shè)，則，得，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

時(shí)，，單調(diào)遞減（同時(shí)注意時(shí)，），

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)均符合條件，

當(dāng)時(shí)，由兩個(gè)根不妨設(shè)為，且，

有兩根，不妨設(shè)為，則，，則，

容易分析出在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)，

這里需要求和的取值范圍，

由上面分析可得，則，

，，

設(shè)，，，

易知在上單調(diào)遞增，

，則，∴，

同理，，

由上面分析在單調(diào)遞減，且時(shí)，，

∴. ∴，

綜上：.