【題目】如圖所示,在等腰梯形中,∥,,直角梯形所在的平面垂直于平面,且,.
(1)證明:平面平面;
(2)點在線段上,試確定點的位置,使平面與平面所成的二面角的余弦值為.
【答案】(1)證明見解析;(2)點為線段中點
【解析】
(1)推導出平面,,,從而平面,由此能證明平面平面;
(2)以為坐標原點,以,所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出點為線段中點時,平面與平面所成的二面角的余弦值.
解:(1)因為平面平面,
平面平面,
,平面,所以平面,
又平面,所以,
在△中,,,,
由余弦定理得,,
所以,所以.
又,,所以平面,
又平面,所以平面平面;
(2)以為坐標原點,以,所在直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,,,,,,,
,,,,,
設(shè),則.
設(shè)平面的一個法向量為,
則,即,取,得.
設(shè)平面的一個法向量為,
由,得,
令,得,
因為平面與平面所成的二面角的余弦值為,
所以,
整理得,
解得或(舍去),
所以點為線段中點時,平面與平面所成的二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,△ABC中,AB⊥BC,∠ACB=60°,D為AC中點,△ABD沿BD翻折過程中,直線AB與直線BC所成的最大角、最小角分別記為α1,β1,直線AD與直線BC所成最大角、最小角分別記為α2,β2,則有( )
A.α1<α2,β1≤β2B.α1<α2,β1>β2
C.α1≥α2,β1≤β2D.α1≥α2,β1>β2
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【題目】設(shè)F是橢圓的左焦點,過點F且斜率為正的直線與E相交于A、B兩點,過點A、B分別作直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM、BN分別與x軸相交于M和N.試求|MN|的最小值.
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【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況,下列敘述中錯誤的是( )
A.消耗1升汽油乙車最多可行駛5千米.
B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多.
C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油.
D.某城市機動車最高限速80千米/小時,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油.
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【題目】已知函數(shù),對于函數(shù)有下述四個結(jié)論:①函數(shù)在其定義域上為增函數(shù);②對于任意的,,都有成立;③有且僅有兩個零點;④若,則在點處的切線與在點處的切線為同一直線.其中所有正確的結(jié)論有( )
A.①②③B.①③C.②③④D.③④
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【題目】已知三棱臺的下底面是邊長為2的正三角形,上地面是邊長為1的正三角形.在下底面的射影為的重心,且.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,設(shè)曲線與曲線的公共弦所在直線為l.
(1)在直角坐標系下,求曲線與曲線的普通方程;
(2)若以坐標原點為中心,直線l順時針方向旋轉(zhuǎn)后與曲線、曲線分別在第一象限交于A、B兩點,求.
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【題目】已知F1(﹣c,0),F2(c,0)分別為雙曲線1(a>0,b>0)的左、右焦點,以坐標原點O為圓心,c為半徑的圓與雙曲線在第二象限交于點P,若tan∠PF1F2,則該雙曲線的離心率為_____.
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