Question

（2005•遼寧）已知函數(shù)f（x）=（x≠﹣1）．設數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an），數(shù)列{bn}滿足bn=|an﹣|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．

（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明bn≤；

（Ⅱ）證明Sn＜．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）我們用數(shù)學歸納法進行證明，先證明不等式bn≤當n=1時成立，再假設不等式bn≤當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式bn≤也成立，最后得到不等式bn≤對于所有的正整數(shù)n成立；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結論，我們可以利用放縮法證明Sn＜，放縮后可以得到一個等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列前n項公式，即可得到答案．

證明：（Ⅰ）當x≥0時，f（x）=1+≥1．

因為a1=1，所以an≥1（n∈N*）．

下面用數(shù)學歸納法證明不等式bn≤．

（1）當n=1時，b1=﹣1，不等式成立，

（2）假設當n=k時，不等式成立，即bk≤．

那么bk+1=|ak+1﹣|=

≤．

所以，當n=k+1時，不等式也成立．

根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．

所以Sn=b1+b2+…+bn≤（﹣1）++…+=（﹣1）•＜（﹣1）•=．

故對任意n∈N*，Sn＜．