Question

經(jīng)市場調(diào)查分析，某旅游城市在上月內(nèi)（以30天計算），第t天旅游人數(shù)S（萬人）與時間t滿足：S-4與t成反比，且上月第20天旅游人數(shù)為4.05萬人，又第t天旅游人均消費(fèi)M（元）與時間t的關(guān)系如圖所示．
（I）求該城市上月的旅游日收益y（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（II）求y的最小值；
（Ⅲ）問該城市上月內(nèi)哪幾天旅游日收益不低于481萬元？
（注：旅游日收益=日旅游人數(shù)×日旅游人均消費(fèi)）

Answer 1

解：（I）由題意可設(shè)，
將t=20，S=4.05代入，得k=1，所以．
由圖象可得
所以旅游日收益=
（II）當(dāng)1≤t≤20，t∈N時，
當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．
當(dāng)21≤t≤30，t∈N時，因為，
所以在21≤t≤30，t∈N是單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=30時，．
綜上可知，上月在第5天旅游日收益的最小值為441元．
（Ⅲ）當(dāng)1≤t≤20，t∈N時，由，得t²-20t+25≥0，
解得，所以t=19，20，1．
當(dāng)21≤t≤30，t∈N時，由，得2t²-39t-70≤0，
解得，所以t=21．
綜上可知，該城市上月第1、19、20、21四個旅游日收益不低于481萬元．
分析：（I）由題意可設(shè)，將t=20，S=4.05代入，求出k，根據(jù)圖象求出M，從而根據(jù)旅游日收益=日旅游人數(shù)×日旅游人均消費(fèi)求出旅游日收益；
（II）當(dāng)1≤t≤20，t∈N時利用基本不等式進(jìn)行求最值，當(dāng)21≤t≤30，t∈N時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；
（III）根據(jù)分段函數(shù)的意義可在每一段上建立不等式，解出符合條件的t，問題即可得解．
點評：本題主要考查學(xué)生根據(jù)實際情況選擇函數(shù)類型的能力，以及基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用能力．