數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,對于任意n∈N*,總有2Sn=an2+an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)正數(shù)數(shù)列{cn}滿足an+1=(cnn+1,(n∈N*),求數(shù)列{cn}中的最大項;

解:(1)由已知:對于n∈N*,總有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12(n≥2)②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=(an+an-1)(an-an-1)∵an,an-1均為正數(shù),
∴an-an-1=1(n≥2)
∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n=1時,2S1=a1+a12,解得a1=1.
∴an=n.
(2)解:由已知,,

易得c1<c2,c2>c3>c4>猜想n≥2時,{cn}是遞減數(shù)列.

∵當x≥3時,lnx>1,則1-lnx<0,即f'(x)<0.
∴在[3,+∞)內(nèi)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù).

∴n≥2時,{lncn}是遞減數(shù)列.即{cn}是遞減數(shù)列.
又c1<c2,∴數(shù)列{cn}中的最大項為
分析:(1)由已知可得2Sn-1=an-1+an-12(n≥2從而導(dǎo)出an+an-1=(an+an-1)(an-an-1)∵an,an-1均為正數(shù),所以an-an-1=1(n≥2),由此推出an=n.
(2)由題設(shè)條件易得c1<c2,c2>c3>c4>猜想n≥2時,{cn}是遞減數(shù)列.令,能夠推出在[3,+∞)內(nèi)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù).由.由此能夠推出數(shù)列{cn}中的最大項為
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認真審題,注意計算能力的培養(yǎng).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,對于任意n∈N*,總有2Sn=an2+an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)正數(shù)數(shù)列{cn}滿足an+1=(cnn+1,(n∈N*),求數(shù)列{cn}中的最大項;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),它的前n項和為Sn(n∈N*),已知點(an,4Sn)在函數(shù)f (x)=x2+2x+1的圖象上.
(1)證明{an}是等差數(shù)列,并求an;
(2)設(shè)m、k、p∈N*,m+p=2k,求證:
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk
;
(3)對于(2)中的命題,對一般的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎?如果成立,請證明你的結(jié)論,如果不成立,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,對于任意n∈N*,總有an、Sn、(an2成等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)設(shè)bn=an(
1
2
)n
,數(shù)列{bn}的前n項和是Tn,求證:
1
2
Tn<2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列命題:
(1)若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則數(shù)列{Sn}也是遞增數(shù)列;
(2)數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}的各項均為正數(shù);
(3)若{an}是等差數(shù)列(公差d≠0),則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0.
(4)若{an}是等比數(shù)列,則S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)的充要條件是an+an+1=0.
其中,正確命題的個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•奉賢區(qū)二模)數(shù)列{an} 的各項均為正數(shù),a1=p,p>0,k∈N*,an+an+k=f(p,k)•pn
(1)當k=1,f(p,k)=p+k,p=5時,求a2,a3
(2)若數(shù)列{an}成等比數(shù)列,請寫出f(p,k)滿足的一個條件,并寫出相應(yīng)的通項公式(不必證明);
(3)當k=1,f(p,k)=p+k時,設(shè)Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1,求Tn

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