【題目】已知定義在R上奇函數(shù)f(x)在時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分.
(1)請補全函數(shù)f(x)的圖象;
(2)寫出函數(shù)f(x)的表達式;
(3)討論方程|f(x)|=a的解的個數(shù).
【答案】(1)答案見解析;(2);(3)答案見解析.
【解析】
(1)利用奇函數(shù)關(guān)于原點對稱可得圖象;
(2)時,函數(shù)圖象為拋物線的一部分,頂點在,且過原點利用拋物線的頂點式寫出其解析式即可,根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求得f(x)的表達式;
(3)方程|f(x)|=a的解的個數(shù),即函數(shù)|f(x)|的圖象和直線y=a的交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.
解:(1)補全f(x)的圖象如圖所示:
(2)當時,設(shè),由f(0)=0得,a=2,
所以此時,.
當x<0時,x>0,所以①
又f(x)=f(x),代入①得
綜上可得,.
(3)方程|f(x)|=a的解的個數(shù),即函數(shù)|f(x)|的圖象和直線y=a的交點個數(shù),函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖2所示,
由圖象可得,當a<0時,方程無解;當a=0時,方程有三個解;
當0<a<2時,方程有6個解;當a=2時,方程有4個解;當a>2時,方程有2個解.
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【題目】已知函數(shù) (0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.若將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)在下列區(qū)間上是減函數(shù)的是( )
A. B. [0,π]
C. [2π,3π] D.
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【題目】某農(nóng)科所發(fā)現(xiàn),一種作物的年收獲量(單位:)與它“相近”作物的株數(shù)具有相關(guān)關(guān)系(所謂兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過),并分別記錄了相近作物的株數(shù)為時,該作物的年收獲量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:
(1)根據(jù)研究發(fā)現(xiàn),該作物的年收獲量可能和它“相近”作物的株數(shù)有以下兩種回歸方程:,利用統(tǒng)計知識,結(jié)合相關(guān)系數(shù)比較使用哪種回歸方程更合適;
(2)農(nóng)科所在如下圖所示的正方形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點)處都種了一株該作物,其中每個小正方形的面積為,若在所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望.(注:年收獲量以(1)中選擇的回歸方程計算所得數(shù)據(jù)為依據(jù))
參考公式:線性回歸方程為,其中,,
相關(guān)系數(shù);
參考數(shù)值:,,,其中.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,在中,,為的中點,四邊形是等腰梯形,,.
(Ⅰ)求異面直線與所成角的正弦值;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正切值.
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【題目】如圖所示的矩形中, ,點為邊上異于, 兩點的動點,且, 為線段的中點,現(xiàn)沿將四邊形折起,使得與的夾角為,連接, .
(1)探究:在線段上是否存在一點,使得平面,若存在,說明點的位置,若不存在,請說明理由;
(2)求三棱錐的體積的最大值,并計算此時的長度.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,點為曲線上的動點,點在線段 的延長線上,且滿足,點的軌跡為.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)設(shè)點的極坐標為,求面積的最小值。
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【題目】某教育主管部門到一所中學檢查高三年級學生的體質(zhì)健康情況,從中抽取了名學生的體質(zhì)測試成績,得到的頻率分布直方圖如圖1所示,樣本中前三組學生的原始成績按性別分類所得的莖葉圖如圖2所示.
(Ⅰ)求, , 的值;
(Ⅱ)估計該校高三學生體質(zhì)測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)若從成績在的學生中隨機抽取兩人重新進行測試,求至少有一名男生的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線和曲線有三個公共點,求以這三個公共點為頂點的三角形的面積.
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【題目】設(shè)某大學的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是
A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B. 回歸直線過樣本點的中心(,)
C. 若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D. 若該大學某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg
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