本小題滿分12分)設M是由滿足下列條件的函數(shù)f (x)構成的集合:①方程f (x)一x=0有實根;②函數(shù)的導數(shù)滿足0<<1.
(1)若函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個元素,證明:方程f(x)一x=0只有一個實根;
(2)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素,并說明理由;
(3)設函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個元素,對于定義域中任意,
證明:

(1)令,則,故是單調遞減函數(shù),
所以,方程,即至多有一解,又由題設①知方程有實數(shù)根,所以,方程有且只有一個實數(shù)根;(2);(Ⅲ)不妨設,∵,∴單調遞增,∴,即,
,則,故是單調遞減函數(shù),
,即
,則有

解析試題分析:令,則,故是單調遞減函數(shù),
所以,方程,即至多有一解,
又由題設①知方程有實數(shù)根,
所以,方程有且只有一個實數(shù)根…………………………………..4分
(2)易知,,滿足條件②;

,…………………………………..7分
在區(qū)間上連續(xù),所以上存在零點,
即方程有實數(shù)根,故滿足條件①,
綜上可知,……………………………………8分
(Ⅲ)不妨設,∵,∴單調遞增,
,即,
,則,故是單調遞減函數(shù),
,即,
,則有….……………..….12分
考點:本題考查了導數(shù)的運用
點評:近幾年新課標高考對于函數(shù)與導數(shù)這一綜合問題的命制,一般以有理函數(shù)與半超越(指數(shù)、對數(shù))函數(shù)的組合復合且含有參量的函數(shù)為背景載體,解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽,這類問題重點考查函數(shù)單調性、導數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識,注重數(shù)學思想(分類與整合、數(shù)與形的結合)方法(分析法、綜合法、反證法)的運用.把數(shù)學運算的“力量”與數(shù)學思維的“技巧”完美結合.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

函數(shù) 
(1)當時,求證:;
(2)在區(qū)間恒成立,求實數(shù)的范圍。
(3)當時,求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分10分)
已知函數(shù)處取得極值,并且它的圖象與直線在點( 1 , 0 ) 處相切, 求a , b , c的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知f(x)=x-(a>0),g(x)=2lnx+bx且直線y=2x-2與曲線y=g(x)相切.
(1)若對[1,+)內的一切實數(shù)x,小等式f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當a=l時,求最大的正整數(shù)k,使得對[e,3](e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))內的任意k個實數(shù)x1,x2,,xk都有成立;
(3)求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
設函數(shù).
(1)對于任意實數(shù),恒成立(其中表示的導函數(shù)),求的最大值;
(2)若方程上有且僅有一個實根,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題14分) 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定義在R上的奇函數(shù),且x=-1時,函數(shù)取極值1。
(1)求a,b,c的值;
(2)若x1,x2∈[-1,1],求證:|f(x1)-f(x2)|≤2;
(3)求證:曲線y=f(x)上不存在兩個不同的點A,B,使過A, B兩點的切線都垂直于直線AB。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知函數(shù)
(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結論;
(Ⅱ)當時,恒成立,求整數(shù)的最大值;
(Ⅲ)試證明:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)已知函數(shù)
(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為,問:在什么范圍取值時,對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù),
(I)求的單調區(qū)間;(II)求在區(qū)間上的最小值。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案