【題目】中,,,有下述四個結(jié)論:

①若的重心,則

②若邊上的一個動點,則為定值2

③若,邊上的兩個動點,且,則的最小值為

④已知內(nèi)一點,若,且,則的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是(

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意,先得為等腰直角三角形;①取中點為,連接,得到,根據(jù)平面向量基本定理,即可得出結(jié)果;②先由①得到,由題意得到上的投影為,進(jìn)而可求出向量數(shù)量積;③以點為坐標(biāo)原點,分別以、所在直線為軸、軸,建立平面直角坐標(biāo)系,由題意,設(shè),,不妨令,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,即可求出結(jié)果;④同③建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)題意,得到,再設(shè),由題意,得到,,用表示出,即可求出結(jié)果;

因為在中,,; 所以為等腰直角三角形;

①如圖1,取中點為,連接,因為的重心,

所以上,且,

所以,故①正確;

②如圖1,同①,因為中點,為等腰直角三角形,所以,

邊上的一個動點,則上的投影為,

因此,故②錯;

③如圖2,以點為坐標(biāo)原點,分別以、所在直線為軸、軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,易得,所在直線方程為:;

因為,邊上的兩個動點,

所以設(shè),,且,不妨令,

因為,所以,即,則,

所以

,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;故③正確;

④同③建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系,則,

設(shè),則,

,所以,即

因為內(nèi)一點,且,設(shè),

,且,

因此,

因為,所以,所以無最值,即無最值,故④錯.

故選:A.

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優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

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合計

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