Question

（本小題滿分16分）
已知函數(shù)．
（1）當時，若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當且時，求證：函數(shù)f (x)存在唯一零點的充要條件是；
（3）設(shè)，且，求證：<．

Answer 1

（1）是 ．（2）在時，在上有唯一解的充要條件是．
（3）見解析。

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，和零點的問題，及不等式的證明綜合運用。
（1）因為函數(shù)．
，當時，若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則其導數(shù)恒大于等于零，得到的取值范圍；
（2）當且時，運用導數(shù)的思想判定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)f (x)存在唯一零點的充要條件是；
（3）因為，且，要證：<，采用分析法的思想來證明該不等式。
（1）當b=1時，.
因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所有在上恒成立，
即在上恒成立，
當時，由，得．
設(shè)，，當且僅當時，等號成立．
即時，有最小值2，所以，解得．
所有a的取值范圍是 ．                   …………………………4分
（2）．
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為．                                      
①充分性：時，在處有極小值也是最小值，
即．在上有唯一的一個零點．
②必要性：f(x)=0在上有唯一解，且， f(a)=0，即．
令， ．
當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，
在上單調(diào)遞減．，只有唯一解．
在上有唯一解時必有．                         
綜上，在時，在上有唯一解的充要條件是．…………10分
（3）不妨設(shè)>n>0，則>1，要證<，
只需要<，即證>，只需證>0，
設(shè)，由（1）知，在上是單調(diào)增函數(shù)，又>1，有>，即>0成立，所以<． ………16分