Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）證明：，.

Answer 1

【答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的解析式求得導函數(shù)，可由的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由極值點求得極值.

（2）將函數(shù)的解析式代入不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求得，再構(gòu)造函數(shù)，并求得，由可知在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可知在內(nèi)有唯一解，記為，滿足.進而由的符號判斷單調(diào)性，即可求得的函數(shù)表達式，根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域即可判斷恒成立，即證明不等式成立.

（1）函數(shù)，，

則，

由可知在上單調(diào)遞增，且，

故當時，，

當時，，

故函數(shù)有極小值，無極大值；

（2）證明：依題意對，，即；

設(shè)，則，設(shè).

因為，所以在上單調(diào)遞增.

又因為，，

所以在內(nèi)有唯一解，記為，即.

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

所以，.

設(shè)，，則，

所以，

所以，即，.