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【題目】已知函數，,使得對任意兩個不等的正實數，都有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若方程有兩個實根，且，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，在上單調遞減，求導得，分類討論的單調性，結合題意，得出的解析式；

（2）由為方程的兩個實根，得出，，兩式相減，分別算出和，利用換元法令和構造函數，根據導數研究單調性，求出，即可證出結論.

（1）根據題意，對任意兩個不等的正實數，都有恒成立.

則在上單調遞減，

因為，

當時，在內單調遞減.，

當時，由，有，

此時，當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

綜上，，所以.

（2）由為方程的兩個實根，

得，

兩式相減，可得，

因此，

令，由，得，

則，

構造函數.

則，

所以函數在上單調遞增，

故，

即， 可知，

故，命題得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的極大值為,其中為自然對數的底數.

（1）求實數的值；

（2）若函數,對任意,恒成立.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝x2+tx+1（其中實數t＞0）．

（1）已知實數x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2．若t＝3，試比較x1f（x1）+x2f（x2）與x1f（x2）+x2f（x1）的大小關系，并證明你的結論；

（2）記g（x），若存在非負實數x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N*）成立，且n的最大值為8，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】袋子中有四張卡片，分別寫有“學、習、強、國”四個字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“學”“習”兩個字都取到記為事件，用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率，利用電腦隨機產生整數0，1，2，3四個隨機數，分別代表“學、習、強、國”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取卡片三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：

232

321

210

023

123

021

132

220

001

231

130

133

231

031

320

122

103

233

由此可以估計事件發(fā)生的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，,側面底面,且是以為底的等腰三角形.

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若四棱錐的體積等于.問：是否存在過點的平面分別交，于點，使得平面平面？若存在，求出的面積；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為,,離心率為，右焦點到右頂點的距離為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）過 的直線與橢圓交于不同的兩點,,則的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值；

（2）證明：，.

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