Question

15．定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，兵兵老師給出如下定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形．

理解：
（1）如圖1，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)用兩種不同的方法再畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)D，使四邊形ABCD為對(duì)等四邊形；
（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．試說(shuō)明：四邊形ABCD是對(duì)等四邊形；
（3）如圖3，點(diǎn)D，B分別在x軸和y軸上，且D（8，0），cos∠BDO=$\frac{4}{5}$，點(diǎn)A是邊BD上的一點(diǎn)，且AD：AB=4：試在x軸上找一點(diǎn)C，使四邊形ABOC為對(duì)等四邊形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的C點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)等四邊形的定義畫(huà)出圖形即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，∠ACD=90°，根據(jù)直角三角形全等的判定定理證明Rt△ADB≌Rt△BCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（3）分OC=AB、AC=OB兩種情況，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1：四邊形ABCD為對(duì)等四邊形；
（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∠ACD=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{BA=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴AD=BC，
∴四邊形ABCD是對(duì)等四邊形；
（3）∵D（8，0），
∴OD=8，
cos∠BDO=$\frac{4}{5}$，即$\frac{OD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=10，
由勾股定理得，OB=$\sqrt{B{D}^{2}-O{D}^{2}}$=6，
∵AD：AB=4，BD=10，
∴AB=2，AD=8，
如圖3，當(dāng)OC=AB時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
如圖4，當(dāng)AC=OB時(shí)，AC=6，
作AE⊥OD于E，
則AE∥OB，
∴$\frac{AE}{OB}$=$\frac{DE}{DO}$=$\frac{DA}{DB}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{DE}{8}$=$\frac{8}{10}$，
解得AE=$\frac{24}{5}$，DE=$\frac{32}{5}$，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
OE=OD-DE=$\frac{8}{5}$，
則OC=OE+EC=$\frac{26}{5}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{26}{5}$，0），
∴四邊形ABOC為對(duì)等四邊形時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）或（$\frac{26}{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用以及平行線分線段成比例定理，正確理解對(duì)等四邊形的定義、正確運(yùn)用相關(guān)的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．