Question

兩只大小不同的含45°角的三角板ABC和DBE如圖擺放，直角頂點重合，連接AE，CD，F(xiàn)，M，N，G分別為線段AC，CD，ED，AE的中點．
（1）如圖，若三角形的兩直角重合，判斷四邊形FMNG的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）從（1）開始，三角板繞B點順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜360°）時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，畫出一種情形，給出證明；若不成立，請說明理由．（若畫出α=180°的情形，并正確答題得2分； 若畫出α=90°的情形，并正確答題得4分； 若畫出其它的情形并正確答題得6分．請自主選擇．）

Answer 1

考點：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)已知條件得出AC∥DE，MN∥CE，MN∥BC，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)M∥AB，GN∥AB，即可得出FGNM為平行四邊形，再根據(jù)AB⊥BC，得出GN⊥MN，從而得出FGNM為矩形，最后根據(jù)中位線的性質(zhì)得出MN=

1

2

CE=

1

2

AD=GN，即可得出四邊形FMNG的形狀；
（2））根據(jù)F，M，N，G分別為線段AC，CD，ED，AE的中點，得出FG，F(xiàn)M，MN，NG分別為△ACE，△ACD，△DCE，△AED的中位線，從而證出四邊形FMNG是平行四邊形；

解答：解：（1）∵△ABC，△DBE為等腰直角三角形，
∴AC∥DE，
∵M(jìn)，N為DC，DE中點，
∴MN∥CE，
∴MN∥BC，
同理可證：FG∥BC，F(xiàn)M∥AB，GN∥AB，
∴FGNM為平行四邊形，
又∵AB⊥BC，
∴GN⊥MN，
∴FGNM為矩形，
∴AD=CE，MN=

1

2

CE，
∴MN=

1

2

CE=

1

2

AD=GN，
∴FGNM為正方形；
（2）∵F，M，N，G分別為線段AC，CD，ED，AE的中點，
∴FG，F(xiàn)M，MN，NG分別為△ACE，△ACD，△DCE，△AED的中位線．
∴FG=MN=

1

2

•CE，F(xiàn)M=NG=

1

2

•AD，
∴四邊形FMNG是平行四邊形；

點評：此題考查了三角形中位線定理，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形、中位線等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線的性質(zhì)進(jìn)行解答．