Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE，已知DE：AC=5：13，則sin∠CAB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)題意易得△DEF與△ACF是等腰三角形，且相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得DF：AF=5：13，即可設(shè)DF=5x，則AF=13x，然后利用勾股定理，即可求得AC，AB，BC的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，
∴∠B=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD=AE，∠EAC=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，
∴FA=CF，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴

EF

FC

=

DF

AF

，
∵∠DFE=∠AFC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

DF

AF

=

DE

AC

=

5

13

，
設(shè)DF=5x，則AF=13x，
∴AD=

AF2-DF2

=12x，AB=AE=AF+EF=AF+DF=18x，
∴BC=12x，
∴AC=

AB2+BC2

=6

13

x，
∴sin∠CAB=

BC

AC

=

12x

6 13 x

=

2 13

13

．
故答案為：

2 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．