Question

20．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，下列四個(gè)結(jié)論：
①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠-1）；③關(guān)于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根；④ak⁴+bk²＜a（k²+1）²+b（k²+1）（k為常數(shù)）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸列式，得b=2a，由圖象可知：左交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-3，當(dāng)x=-3時(shí)，y＜0，代入可得結(jié)論正確；
②開(kāi)口向下，則頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)是最大值，那么y=am²+bm+c＜a-b+c，化簡(jiǎn)可得結(jié)論不正確；
③計(jì)算△的值作判斷；
④比較k²與k²+1的值，根據(jù)當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小，由圖象得出結(jié)論．

解答 解：①因?yàn)槎�次函�?shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1，由圖象可得左交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-3，小于-2，
所以-$\frac{2a}$=-1，
b=2a，
當(dāng)x=-3時(shí)，y＜0，
即9a-3b+c＜0，
9a-6a+c＜0，
3a+c＜0，
∵a＜0，
∴4a+c＜0，
所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；
②∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1，
∴y=a-b+c的值最大，
即把x=m（m≠-1）代入得：y=am²+bm+c＜a-b+c，
∴am²+bm＜a-b，
m（am+b）+b＜a，
所以此選項(xiàng)結(jié)論不正確；
③ax²+（b-1）x+c=0，
△=（b-1）²-4ac，
∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（b-1）²≥0，
∴△＞0，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0有實(shí)數(shù)根；
④由圖象得：當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，0≤k²≤k²+1，
∴當(dāng)x=k²的值大于x=k²+1的函數(shù)值，
即ak⁴+bk²+c＞a（k²+1）²+b（k²+1）+c，
ak⁴+bk²＞a（k²+1）²+b（k²+1），
所以此選項(xiàng)結(jié)論不正確；
所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與系數(shù)關(guān)系，在解題時(shí)，注意二次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的形狀、對(duì)稱(chēng)軸，特殊點(diǎn)的關(guān)系，靈活掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用圖象信息解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．