Question

8．如圖，Rt△AOB中，∠A=90°，以O為坐標原點建立平面直角坐標系，使點A在x軸正半軸上，已知OA=2，AB=8，點C為AB邊的中點，以原點O為頂點的拋物線C₁經過點C．
（1）直線OC的解析式為y=2x；拋物線C₁的解析式為y=x²；
（2）現(xiàn)將拋物線C₁沿著直線OC平移，使其頂點M始終在直線OC上，新拋物線C₂與直線OC的另一交點為N．則在平移的過程中，新拋物線C₂上是否存在這樣的點G，使以B、G、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出此時新拋物線C₂的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）存在．設新拋物線C₂與的頂點坐標為（m，2m），則N（m+2，2m+4），新拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+2m，設點G的坐標為（x，y）．分三種情形討論①當BM為平行四邊形MNBG的對角線時，則有$\frac{2+m}{2}$=$\frac{x+m+2}{2}$，$\frac{2m+8}{2}$=$\frac{y+2m+4}{2}$，推出x=0，y=4，推出點G坐標為（0，4），把（0，4）代入y=（x-m）²+2m，求出m即可．
②當BN為對角線時，方法類似．③當MN為對角線時，顯然不成立．

解答 解：（1）由題意C（2，4），設直線OC的解析式為y=kx，則有4=2k，
∴k=2，
∴直線OC的解析式為y=2x，
設以原點O為頂點的拋物線C₁的解析式為y=ax²，把C（2，4）代入得a=1，
∴以原點O為頂點的拋物線C₁的解析式為y=x²，
故答案為y=2x，y=x²．

（2）存在．理由如下，
設新拋物線C₂與的頂點坐標為（m，2m），則N（m+2，2m+4），新拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+2m．
設點G的坐標為（x，y）．
①當BM為平行四邊形MNBG的對角線時，則有$\frac{2+m}{2}$=$\frac{x+m+2}{2}$，$\frac{2m+8}{2}$=$\frac{y+2m+4}{2}$，
∴x=0，y=4，
∴點G坐標為（0，4），把（0，4）代入y=（x-m）²+2m，得到m=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$，
此時拋物線C₂的解析式為y=（x+1-$\sqrt{5}$）²-2+2$\sqrt{5}$或y=（x+1+$\sqrt{5}$）²-2-2$\sqrt{5}$．
②當BN為對角線時，則有$\frac{2+m+2}{2}$=$\frac{x+m}{2}$，$\frac{8+2m+4}{2}$=$\frac{2m+y}{2}$，
∴x=4，y=12，
∴點G的坐標為（4，12），把（4，12）代入y=（x-m）²+2m，得到m=3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$
∴此時拋物線C₂的解析式為y=（x-3+$\sqrt{5}$）²+6-2$\sqrt{5}$或y=（x-3-$\sqrt{5}$）²+6+2$\sqrt{5}$．
③當MN為對角線時，顯然不成立．
綜上所述，滿足條件的拋物線C₂的解析式為y=（x+1-$\sqrt{5}$）²-2+2$\sqrt{5}$或y=（x+1+$\sqrt{5}$）²-2-2$\sqrt{5}$或y=（x-3+$\sqrt{5}$）²+6-2$\sqrt{5}$或y=（x-3-$\sqrt{5}$）²+6+2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了二次函數綜合題、一次函數的應用、平行四邊形的性質和判定、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．