Question

19．對于一個四邊形給出如下定義：有一組對角相等且有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形為奇特四邊形．如圖①中，∠B=∠D，AB=AD；如圖②中，∠A=∠C，AB=AD則這樣的四邊形均為奇特四邊形．
（1）在圖①中，若AB=AD=4，∠A=60°，∠C=120°，請求出四邊形ABCD的面積；
（2）在圖②中，若AB=AD=4，∠A=∠C=45°，請直接寫出四邊形ABCD面積的最大值；
（3）如圖③，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且BE=DF，連接EF，取EF的中點G，連接CG并延長交AD于點H．若EB+BC=m，問四邊形BCGE的面積是否為定值？如果是，請求出這個定值（用含m的代數(shù)式表示）；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，設(shè)AC與BD交于點O．首先證明△ABD是等邊三角形，AC⊥BD，根據(jù)S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$•BD•OA+$\frac{1}{2}$•BD≈OC=$\frac{1}{2}$•BD•（OA+OC），求出AO，OC即可解決問題．
（2）如圖②中，作DH⊥AB于H．因為∠C′=∠C=45°，所以當C′B=C′D時，△BDC′的面積最大，此時四邊形ABC′D的面積最大，易證四邊形ABC′D是菱形，在Rt△AHD中，由∠A=45°，∠AHD=90°，AD=4，推出AH=HD=2$\sqrt{2}$，所以四邊形ABC′D的面積=AB•DH=8$\sqrt{2}$．
（3）四邊形BCGE的面積是定值如圖③中，連接EC、CF，作FH⊥BC于H．由△BCE△DCF，推出CE=CF，由EG=GF，推出S_△ECG=S_△FCG，由四邊形DCFH是矩形，推出BC=DC=HF，DF=BE=CH，推出BH=m，BE+FH=m，推出△FCH，△DCF，△BCE的面積相等，推出四邊形BCGE的面積=$\frac{1}{2}$•梯形BEFH的面積，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖①中，設(shè)AC與BD交于點O．

∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD=4，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠BCD=120°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴CB=CD，∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴BO=OD=2，OA=AB•sin60°=2$\sqrt{3}$，OC=OB•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$•BD•OA+$\frac{1}{2}$•BD≈OC=$\frac{1}{2}$•BD•（OA+OC）=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

（2）如圖②中，作DH⊥AB于H．

∵∠C′=∠C=45°，
∴當C′B=C′D時，△BDC′的面積最大，此時四邊形ABC′D的面積最大，
易證四邊形ABC′D是菱形，
在Rt△AHD中，∵∠A=45°，∠AHD=90°，AD=4，
∴AH=HD=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形ABC′D的面積=AB•DH=8$\sqrt{2}$．
∴四邊形ABCD的面積的最大值為8$\sqrt{2}$．

（3）四邊形BCGE的面積是定值．理由如下，
如圖③中，連接EC、CF，作FH⊥BC于H．

在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBC=∠FDC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF，
∵EG=GF，
∴S_△ECG=S_△FCG，
∵四邊形DCFH是矩形，
∴BC=DC=HF，DF=BE=CH，
∴BH=m，BE+FH=m，
∴△FCH，△DCF，△BCE的面積相等，
∴四邊形BCGE的面積=$\frac{1}{2}$•梯形BEFH的面積=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•m•m=$\frac{1}{4}$m²．

點評 本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，第三個問題的關(guān)鍵是證明四邊形BCGE的面積=$\frac{1}{2}$•梯形BEFH的面積，所以中考壓軸題．