Question

已知一個(gè)矩形紙片ABCD，AB=12，BC=6，點(diǎn)E為DC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)D、C重合），經(jīng)過點(diǎn)A、E折疊該紙片，得點(diǎn)D′和折痕AE，經(jīng)過點(diǎn)E再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線ED′上，得點(diǎn)C′和折痕EF．當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊AB上時(shí)，DE的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：設(shè)DE=x，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠AED=∠AEC′，∠CEF=∠C′EF，然后求出∠AED+∠CEF=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF，然后求出△ADE和△ECF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CF，然后表示出BF、C′D′，再根據(jù)△AC′D′和△C′FB相似列式求出BC′，然后表示出AC′，在Rt△AC′D′中，利用勾股定理列式求解即可；再根據(jù)矩形的邊長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，C′、D′、F三點(diǎn)重合，為AB的中點(diǎn)．

解答：解：設(shè)DE=x，則CE=CD-DE=AB-DE=12-x，
由翻折的性質(zhì)得，∠AED=∠AEC′，∠CEF=∠C′EF，
∴∠AED+∠CEF=

1

2

×180°=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，
∴

AD

CE

=

DE

CF

，
即

6

12-x

=

x

CF

，
解得CF=

x(12-x)

6

，
∴BF=BC-CF=6-

x(12-x)

6

=

(6-x)2

6

，C′D′=C′E=D′E=12-x-x=12-2x，
由翻折的性質(zhì)，∠AD′C′=∠EC′F=90°，
∴AD′∥C′F，
∴∠C′AD′=∠BC′F，
又∵∠AD′C=∠B=90°，
∴

AD′

BC′

=

C′D′

B′F

，
即

6

BC′

=

12-2x

(6-x)2 6

，
解得BC′=

6-x

2

，
∴AC′=12-

6-x

2

=

18+x

2

，
在Rt△AC′D′中，AD′²+C′D′²=AC′²，
即6²+（12-2x）²=（

18+x

2

）²，
整理得，5x²-76x+132=0，
解得x₁=2，x₂=

66

5

（舍去），
故，DE=2，

當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，C′、D′、F三點(diǎn)重合，為AB的中點(diǎn)，
此時(shí)DE=

1

2

×12=6，
綜上所述，DE的長(zhǎng)為2或6．
故答案為：2或6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記翻折前后的兩個(gè)圖形能夠重合得到相等的線段和角是解題的關(guān)鍵，本題要注意點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)的情況．