Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點D在AB上，AD=2，點E、F同時從點D出發(fā)，分別沿DA、DB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運動的時間為t秒，正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．

（1）當t為何值時，正方形EFGH的頂點G剛好落在線段AC上；
（2）當0＜t≤2時，求出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）當t≥2時，是否存在t的值，使△EGB為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）分兩種情況：當0＜t＜2時，如圖1-1：GF=2t，AF=2+t；當2＜t＜8時，如圖1-2：GF=4，AF=2+t；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得t的值；
（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當0＜t≤

6

11

時；②當

6

11

＜t≤

6

5

時；③當

6

5

＜t≤2時；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以E為頂點，以G為頂點，以B為頂點，分三種情況討論即可求得t的值．

解答：解：（1）當0＜t＜2時，如圖1-1：GF=2t，AF=2+t
因為△AFG～△ACB，所以

GF

BC

=

AF

AC

，即

2+t

8

=

2t

6

，所以t=

6

5

當2＜t＜8時，如圖1-2：GF=4，AF=2+t
因為△AFG～△ACB，所以

GF

BC

=

AF

AC

，即

2+t

8

=

4

6

，所以t=

10

3

即：當t=

6

5

或t=

10

3

時，正方形EFGH的頂點G剛好落在線段AC上

（2）①當0＜t≤

6

11

時，s與t的函數(shù)關(guān)系式是：s=2t•2t=4t²；
②當

6

11

＜t≤

6

5

時，如圖2-1所示：HN=2t-

3

4

(2-t)=

11

4

t-

3

2

，HM=

4

3

HN=

4

3

(

11

4

t-

3

2

)；
s與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=S正方形EFGH-S△MHN=4t2-

1

2

•HN•HM
所以s=4t2-

1

2

•

4

3

•[

11

4

t-

3

2

]2=-

25

24

t2+

11

2

t-

3

2

；
③當

6

5

＜t≤2時，如圖2-2，AF=t+2，F(xiàn)M=

3

4

(t+2)，AE=2-t，EN=

3

4

(2-t)，
s與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=S△AFM-S△AEN=

1

2

×

3

4

(t+2)2-

1

2

×

3

4

(2-t)2=3t；

（3）當t≥2時，存在使△EGB為等腰三角形的t的值．
EG=4

2

，BE=10-（t-2）=12-t，BG=

(8-t)2+16

①當EG=EB時，4

2

=12-t，t=12-4

2

；
②當GE=GB時，4

2

=

(8-t)2+16

，解得：t₁=4，t₂=12（舍去）；
③當BE=BG時，12-t=

(8-t)2+16

，解得：t=8．
綜上所述：當t=12-4

2

，t=4，t=8時，△EGB為等腰三角形．

點評：此題主要考查了動點函數(shù)問題，其中應用到了相似形、等腰三角形的性質(zhì)、正方形及勾股定理的性質(zhì)，分類思想的運用，鍛煉了學生運用綜合知識解答題目的能力．