Question

如圖①所示，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．
問題探究：
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB上的黃金分割點(diǎn)，如圖②，則直線CD是△ABC的黃金分割線，你認(rèn)為呢？為什么？
（2）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF如圖③，則直線EF也是△ABC的黃金分割線，請你說明理由．
（3）如圖④，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交CD于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形的黃金分割線，請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．
（4）如圖⑤等腰梯形ABCD，請你畫出它的一條黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊的黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,黃金分割

專題：

分析：（1）設(shè)△ABC邊AB上的高為h，先求出

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，再根據(jù)

AD

AB

=

BD

AD

得出

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，即可證出直線CD是△ABC的黃金分割線；
（2）先證出S_△DEC=S_△FCE，設(shè)直線EF與直線CD交于點(diǎn)G，證出S_△ADC=S_△AEF，S_{四邊形BEFC}=S_△BDC，再根據(jù)

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，得出

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，即可證出直線EF也是△ABC的黃金分割線；
（3）在DF上取一點(diǎn)N，連接EN，再過點(diǎn)F作FM∥NE交AB于點(diǎn)M，連接MN，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線；
（4）分別作出AB、CD的黃金分割點(diǎn)E、F，在FC上取一點(diǎn)N，連接EN，再過點(diǎn)F作FM∥NE交AB于點(diǎn)M，連接MN，則直線MN就是等腰梯形ABCD的黃金分割線．

解答：解：（1）設(shè)△ABC邊AB上的高為h，
∵S_△ADC=

1

2

AD•h，S_△BDC=

1

2

BD•h，S_△ABC=

1

2

AB•h，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，
∵點(diǎn)D為AB上的黃金分割點(diǎn)，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，
∴S_△DEC=S_△FCE，
如圖③，設(shè)直線EF與直線CD交于點(diǎn)G，
∵S_△DGC=S_△FGC，
∴S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FGC=S_{四邊形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，
S_{四邊形BEFC}=S_△BDC，
∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，
∴直線EF也是△ABC的黃金分割線；

（3）如圖④，在DF上取一點(diǎn)N，連接EN，再過點(diǎn)F作FM∥NE交AB于點(diǎn)M，連接MN，
則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線；

（4）如圖⑤，分別作出AB、CD的黃金分割點(diǎn)E、F，在FC上取一點(diǎn)N，連接EN，再過點(diǎn)F作FM∥NE交AB于點(diǎn)M，連接MN，
則直線MN就是等腰梯形ABCD的黃金分割線．

點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是相似形的性質(zhì)、黃金分割、三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意黃金分割線的靈活運(yùn)用．