如圖,當(dāng)x=2時(shí),拋物線取得最小值-1,并且與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于點(diǎn)A、B(A在B的右邊)。

(1)求拋物線的解析式;
(2)D是線段AC的中點(diǎn),E為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合),過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF與拋物線交于點(diǎn)F。問(wèn):是否存在△DEF與△AOC相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(1);(2);(3)

試題分析:(1)已知,當(dāng)x=2時(shí),拋物線的最小值為-1,因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1);可用頂點(diǎn)式來(lái)設(shè)拋物線的解析式,然后將C的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式.
(2)由于EF∥OC,那么∠FED=45°,因此要使三角形EFD與三角形COA相似,只有兩種情況:當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí),∠EDF=90°,由于D是AC中點(diǎn),而FD⊥AC,三角形AOC又是個(gè)等腰直角三角形,因此DF正好在∠COA的平分線上,即DF在直線y=x上,此時(shí)可先求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式,然后聯(lián)立拋物線的解析式求出F的坐標(biāo),由于E、F的橫坐標(biāo)相同,將F的橫坐標(biāo)代入AC所在的直線的解析式中即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí),∠EFD=90°,那么DF與三角形AOC的中位線在同一直線上,即DF所在的直線的解析式為y=2,然后可根據(jù)(2)的方法求出p點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為
y=a(x-2)2-1
因?yàn)辄c(diǎn)C(0,3)在拋物線上
所以3=a(0-2)2-1,即a=1
所以,拋物線的關(guān)系式為;
(2)令y=0,即x2-4x+3=0,
得點(diǎn)A(3,0),B(1,0),線段AC的中點(diǎn)為D(,
直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3
因?yàn)椤鱋AC是等腰直角三角形,
所以,要使△DEF與△AOC相似,△DEF也必須是等腰直角三角形.
由于EF∥OC,因此∠DEF=45°,
所以,在△DEF中只可能以點(diǎn)D、F為直角頂點(diǎn).
當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí),DF⊥EF,此時(shí)△DEF∽△ACO,DF所在直線為y=


當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí),DF⊥AC,此時(shí)△DEF∽△OAC,由于點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),
因此,DF所在直線過(guò)原點(diǎn)O,其關(guān)系式為y=x.


當(dāng)∠DFE=90°時(shí),E1,當(dāng)∠EDF=90°時(shí),E2;
(3)

點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是要注意的是(3)中在不確定△EDF的直角頂點(diǎn)的情況下要分類進(jìn)行討論,不要漏解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直角梯形OABC中,AB∥OC,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在y軸正半軸上,點(diǎn)C在x軸正半軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(2,),∠BCO=60°,OH⊥BC于點(diǎn)H.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā),沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求OH的長(zhǎng);
(2)若△OPQ的面積為S(平方單位).求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.并求t為何值時(shí),△OPQ的面積最大,最大值是多少;
(3)設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M.①當(dāng)△OPM為等腰三角形時(shí),求(2)中S的值. ②探究線段OM長(zhǎng)度的最大值是多少,直接寫出結(jié)論.

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如圖,直線y= -x+3與x軸,y軸分別相交于點(diǎn)B、C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱軸為直線x=2.

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)連結(jié)AC.請(qǐng)問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠ABC=45°時(shí),求m的值;
(3)已知一次函數(shù)y=kx+b,點(diǎn)P(n,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M,交二次函數(shù)y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的圖象于N.若只有當(dāng)﹣2<n<2時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.==

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如圖,拋物線C1:y=ax2+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,0),
(1)求拋物線C1的解析式;
(2)如圖1,將拋物線C1向右平移1個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位得到拋物線C2,直線y=x+c,經(jīng)過(guò)點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A,交拋物線C2于點(diǎn)B,拋物線C2的頂點(diǎn)為P,求△DBP的面積;
(3)如圖2,連接AP,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AP于C,設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,試證明:FC·(AC+EC)為定值.

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已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)分別是(-1,0),(3,0)另有一點(diǎn)(0,-3)也在圖象上,則該拋物線的關(guān)系式________________ .

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在邊長(zhǎng)為6的正方形中間挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為x)的小正方形,如果設(shè)剩余部分的面積為y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為      

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閱讀下列材料:
我們知道,一次函數(shù)ykxb的圖象是一條直線,而ykxb經(jīng)過(guò)恒等變形可化為直線的另一種表達(dá)形式:AxBxC=0(AB、C是常數(shù),且AB不同時(shí)為0).如圖1,點(diǎn)Pm,n)到直線lAxBxC=0的距離(d)計(jì)算公式是:d 

例:求點(diǎn)P(1,2)到直線y x的距離d時(shí),先將y x化為5x-12y-2=0,再由上述距離公式求得d  
解答下列問(wèn)題:
如圖2,已知直線y=-x-4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線yx2-4x+5上的一點(diǎn)M(3,2).

(1)求點(diǎn)M到直線AB的距離.
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積最?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

三個(gè)全等的直角梯形①、②、③在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,拋物線經(jīng)過(guò)梯形的頂點(diǎn)A、B、C、D,已知梯形的兩條底邊長(zhǎng)分別為4,6,該拋物線解析式為________________

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