Question

如圖，直線y= -x+3與x軸，y軸分別相交于點B、C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線x=2．

（1）求A點的坐標；
（2）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（3）連結(jié)AC．請問在x軸上是否存在點Q，使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC 相似，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（1，0）（2）ｙ＝2ｘ－4ｘ－6  （3）存在

試題分析：【探究】證明：過點F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延長線于點G
∵AH∥EF∥DG，AD∥GH
∴四邊形AHFE和四邊形DEFG都是平行四邊形
∴FH＝AE，F(xiàn)G＝DE
∵AE＝DE
∴FG＝FH
∵AB∥DG
∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B
∴△CFG≌△BFH
∴FC＝FB     4分
【知識應(yīng)用】過點C作CM⊥ｘ軸于點M，過點A作AN⊥ｘ軸于點N，過點B作BP⊥ｘ軸于點P
則點P的坐標為（ｘ，0），點N的坐標為（ｘ，0）
由探究的結(jié)論可知，MN＝MP
∴點M的坐標為（，0）
∴點C的橫坐標為
同理可求點C的縱坐標為
∴點C的坐標為（，）    8分
【知識拓展】
當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點C在ｘ軸的正半軸時，AD與BC互相平分，設(shè)點C的坐標為（ａ，0），點D的坐標為（0，ｙ）
由上面的結(jié)論可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ
∴ａ＝10，ｂ＝－6
∴此時點C的坐標為（10，0），點D的坐標為（0，－6）
同理，當(dāng)AB是平行四邊形一條邊，且點C在ｘ軸的負半軸時
求得點C的坐標為（－10，0），點D的坐標為（0，6）
當(dāng)AB是對角線時
點C的坐標為（－2，0），點D的坐標為（0，4） 14
點評：本題考查拋物線的知識，要求考生會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)