Question

18．如圖，AD是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF．
（1）試判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）若AE=5，AD=8，求EF的長(zhǎng)．
（3）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°證△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四邊形AEDF，根據(jù)EF⊥AD得出菱形AEDF；
（2）由（1）知菱形AEDF對(duì)角線互相垂直平分，故AO=$\frac{1}{2}$AD=4，根據(jù)勾股定理得EO=3，從而得到EF=6；
（3）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形．

解答 解：（1）四邊形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AO=AO}\\{∠AOE=∠AOF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四邊形AEDF是平行四邊形
又EF⊥AD，
∴平行四邊形AEDF為菱形；
（2）∵EF垂直平分AD，AD=8，
∴∠AOE=90°，AO=4，
在RT△AOE中，∵AE=5，
∴EO=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=3，
由（1）知，EF=2EO=6；
（3）當(dāng)△ABC中∠BAC=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的判定和正方形的判定，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．