9.如圖,△ABC中,AC=2AB,AD是角平分線(xiàn),點(diǎn)E在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,AB是△AED的中線(xiàn).求證:∠1=∠C.

分析 延長(zhǎng)AB至F,連接DF,由SAS證明△BDF≌△BEA,得出對(duì)應(yīng)角相等∠F=∠1,證出AF=AC,∠2=∠3,由SAS證明△ADF≌△ADC,得出∠F=∠C,即可得出∠1=∠C.

解答 證明:延長(zhǎng)AB至F,連接DF,如圖所示:

∵AB是△AED的中線(xiàn),
∴BD=BE,
在△BDF和△BEA中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}&{\;}\\{∠DBF=∠EBA}&{\;}\\{BF=AB}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△BEA(SAS),
∴∠F=∠1,
∵AC=2AB,AB=BF,
∴AF=AC,
∵AD是角平分線(xiàn),
∴∠2=∠3,
在△ADF和△ADC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ADF≌△ADC(SAS),
∴∠F=∠C,
∴∠1=∠C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線(xiàn)以及角平分線(xiàn);通過(guò)作輔助線(xiàn)證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

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7.分解因式
(1)4a2b-6ab
(2)25(x-y)2+10(y-x)+1
(3)x2(x-y)+(y-x)
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4.畫(huà)出如圖所示的幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.

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4.已知在△ABC中,AB=AC,DB=DC,點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)E在線(xiàn)段DF的延長(zhǎng)線(xiàn)上,∠BAE=∠BDF,點(diǎn)M在線(xiàn)段DF上,∠EBM=∠ABD.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=45°時(shí),求證:AE=$\sqrt{2}$MD.
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),延長(zhǎng)BM到點(diǎn)P,使MP=BM,AD與CP交于點(diǎn)N,若AB=$\sqrt{7}$,BE=$\sqrt{3}$.
①求證:BP⊥CP;②求AN的長(zhǎng).

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14.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,取BF=AB,作DF⊥BC交AC于D,作AE⊥BC于E.
(1)求證:AG=GF.
(2)求證:GF∥AC.

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1.如圖,在等腰三角形ABC中,CE,BF是兩腰上的高線(xiàn),點(diǎn)P,Q分別在BE,CF的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BP=AC,CQ=AB,△APQ是等腰三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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18.如圖,AD是△ABC的角平分線(xiàn),線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)分別交AB和AC于點(diǎn)E、F,連接DE、DF.
(1)試判定四邊形AEDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
(2)若AE=5,AD=8,求EF的長(zhǎng).
(3)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形AEDF是正方形?

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19.如圖,已知E、F分別在AB、CD上,BC交AF于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)M,若∠1=∠2,∠A=∠D.
(1)AF與ED平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)試說(shuō)明∠B=∠C;
(注:在下面的解答過(guò)程的空格內(nèi)填寫(xiě)理由或數(shù)學(xué)式)
解:
(1)AF∥ED.理由如下:
∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠CBD(對(duì)頂角相等)
∴AF∥ED(同位角相等,兩直線(xiàn)平行)
(2)∵AF∥ED(已知)
∴∠AFC=∠D(兩直線(xiàn)平行,同位角相等)
又∵∠A=∠D(已知)
∴∠A=∠AFC(等量代換)
∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行)
∴∠B=∠C(兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)

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