Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2cm，AB=8cm，E是AB上一點，連接DE、CE．若滿足∠DEC=90°的點E有且只有一個，則BC=

 

cm．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,梯形中位線定理,圓周角定理

專題：計算題

分析：取CD中點F，連接EF，作DH⊥BC，垂足為H，根據(jù)三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形ABHD是矩形，利用矩形的對邊相等得到AB=DH=8cm，AD=BH=2cm，若∠DEC=90°，則以D，E，C三點畫圓，CD為直徑，EF為半徑，根據(jù)滿足∠DEC=90°的點E有且只有一個，得到E就是圓的切點，利用切線的性質得到FE⊥AB，進而得到AD∥EF∥BC，利用平行線等分線段成比例得到E為AB中點，即EF為梯形的中位線，利用梯形中位線定理列出關系式，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列出關系式，得到CD=AD+BC，在直角三角形DHC中，利用勾股定理列出關于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長．

解答：解：取CD中點F，連接EF，作DH⊥BC，垂足為H，
根據(jù)題意得：四邊形ABHD是矩形，AB=DH=8cm，AD=BH=2cm，
若∠DEC=90°，則以D，E，C三點畫圓，CD為直徑，EF為半徑，
∵滿足∠DEC=90°的點E有且只有一個，
∴E就是圓的切點，
∴FE⊥AB，
∴AD∥EF∥BC，
∴EF是梯形的中位線，EF=

1

2

（AD+BC），
∵EF=

1

2

CD，
∴CD=AD+BC，
∵在Rt△DHC中，根據(jù)勾股定理得：CH²+DH²=CD²=（AD+BC）²，
∴（BC-2）²+8²=（BC+2）²，
整理得：8BC=64，
則BC=8cm．
故答案為：8

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，梯形中位線定理，圓周角定理，以及平行線等分線段成比例，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．