Question

如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD外一點(diǎn)，DE⊥BD于點(diǎn)D，DE=CE，BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．連接EF交BD于點(diǎn)H．
（1）若∠CDE=∠DEH=

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2

∠HEC，求∠ABG的度數(shù)；
（2）求證：H是EF的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)∠CDE=x°，則∠CDE=∠DCE=x°，∠DEH=x°，∠HEC=2x°，根據(jù)∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°得出5x=180°，求出x即可；
（2）連接AC，GE，求出GD=GC，得出在CD的垂直平分線上，E在CD的垂直平分線上，推出GE為CD的垂直平分線，求出DM=CM，求出FD∥GE，F(xiàn)G∥DE，求出四邊形FDEG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出即可．

解答：（1）解：設(shè)∠CDE=x°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=∠DCE=x°，
∵∠CDE=∠DEH=

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∠HEC，
∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，
∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，
∴5x=180°，
x=36°，
∵DE⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴∠BDC=90°-36°=54°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠BDC=54°；

（2）證明：
連接AC，GE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，
∴GD=GC，
∴G在CD的垂直平分線上，
∵DE=CE，
∴E在CD的垂直平分線上，
∴GE為CD的垂直平分線，
∴DM=CM，
∵BG=DG，
∴GM∥BC，
∴∠DGE=∠DBC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠FDG，
∴∠DGE=∠FDG，
∴FD∥GE，
∵FG⊥BD，DE⊥BD，
∴FG∥DE，
∴四邊形FDEG是平行四邊形，
∴H為EF的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．