16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+2mx-m2+1的對稱軸是直線x=1.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點D(n,y1),E(3,y2)在拋物線上,若y1<y2,請直接寫出n的取值范圍;
(3)設(shè)點M(p,q)為拋物線上的一個動點,當(dāng)-1<p<2時,點M關(guān)于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方,求k的取值范圍.

分析 (1)由拋物線的對稱軸方程可求得m=1,從而可求得拋物線的表達式;
(2)將x=3代入拋物線的解析式,可求得y2=3,將y=3代入拋物線的解析式可求得x1=-1,x2=3,由拋物線的開口向下,可知當(dāng)當(dāng)n<-1或n>3時,y1<y2;
(3)先根據(jù)題意畫出點M關(guān)于y軸對稱點M′的軌跡,然后根據(jù)點M關(guān)于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方,列出關(guān)于k的不等式組即可求得k的取值范圍.

解答 解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,
∴x=-$\frac{2a}$=-$\frac{2m}{-1×2}$=1.
解得:m=1.
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x.
(2)將x=3代入拋物線的解析式得y=-32+2×3=-3.
將y=-3代入得:-x2+2x=-3.
解得:x1=-1,x2=3.
∵a=-1<0,
∴當(dāng)n<-1或n>3時,y1<y2
(3)設(shè)點M關(guān)于y軸對稱點為M′,則點M′運動的軌跡如圖所示:

∵當(dāng)P=-1時,q=-(-1)2+2×(-1)=-3.
∴點M關(guān)于y軸的對稱點M1′的坐標(biāo)為(1,-3).
∵當(dāng)P=2時,q=-22+2×2=0,
∴點M關(guān)于y軸的對稱點M2′的坐標(biāo)為(-2,0).
①當(dāng)k<0時,
∵點M關(guān)于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方,
∴-2k-4≤0.
解得:k≥-2.
②當(dāng)k>0時,
∵點M關(guān)于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方,
∴k-4≤-3.
解得;k≤1.
∴k的取值范圍是-2≤k≤1.

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合思想列出關(guān)于k的不等式組是解題的關(guān)鍵.

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