Question

如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，BC=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴點B的坐標為（-2，-2

3

）；

（2）∵拋物線過原點O和點A、B，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，
將A（4，0），B（-2．-2

3

）代入，得

16a+4b=0 4a-2b=-2 3

，
解得

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴此拋物線的解析式為y=-

3

6

x²+

2 3

3

x

（3）存在，
如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y），
①若OB=OP，
則2²+|y|²=4²，
解得y=±2

3

，
當y=2

3

時，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD=

PD

OP

=

3

2

，
∴∠P′OD=60°，
∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P′、O、B三點在同一直線上，
∴y=2

3

不符合題意，舍去，
∴點P的坐標為（2，-2

3

）
②若OB=PB，則4²+|y+2

3

|²=4²，
解得y=-2

3

，
故點P的坐標為（2，-2

3

），
③若OP=BP，則2²+|y|²=4²+|y+2

3

|²，
解得y=-2

3

，
故點P的坐標為（2，-2

3

），
綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，-2

3

），