已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC是以AC為斜邊的Rt△時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)設(shè)過點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為N,當(dāng)△ACN的面積為
15
8
時(shí),求直線AN的解析式.
(1)將A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c中,得:
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
,
解得:
a=-1
b=2
c=3
,
故拋物線的解析式是y=-x2+2x+3,對稱軸為:直線x-
b
2a
=1;

(2)設(shè)點(diǎn)P(1,y)是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作CF⊥l于F,l交x軸于E,
則AC2=AO2+CO2=10,CP2=CF2+PF2=1+(3-y)2=y2-6y+10,
AP2=AE2+PE2=4+y2,∴由CP2+AP2=AC2,
得:y2-6y+10+4+y2=10,解得y=1或y=2,
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(1,1)、P2(1,2);

(3)設(shè)點(diǎn)M(1,m),與(2)同理可得:AC2=10,CM2=m2-6m+10,AM2=4+m2
①當(dāng)AC=CM時(shí),10=m2-6m+10,解得:m=0或m=6(舍去),
②當(dāng)AC=AM時(shí),10=4+m2,解得:m=
6
或m=-
6
,
③當(dāng)CM=AM時(shí),m2-6m+10=4+m2,解得:m=1,
檢驗(yàn):當(dāng)m=6時(shí),M、A、C三點(diǎn)共線,不合題意,故舍去;
綜上可知,符合條件的M點(diǎn)有4個(gè),
M坐標(biāo)為(1,0)、(1,
6
)、(1,-
6
)、(1,1);

(4)設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b,且交y軸于點(diǎn)K,
∵過點(diǎn)A(-1,0),
∴y=kx+k,
∴K(0,k),
∵N是直線AN與拋物線的交點(diǎn),
∴kx+k=-x2+2x+3,解得x=3-k或x=-1(舍去),
∵N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3-k(k<3),
由S△ACN=S△ACK+S△CKN=
1
2
CK•OA+
1
2
CK•NJ=
1
2
(3-k)×1+
1
2
(3-k)2
=
1
2
(k2-7k+12),
15
8
=
1
2
(k2-7k+12),
解得k=
11
2
(舍去),或k=
3
2
,
故直線AN的解析式為y=
3
2
x+
3
2
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

下表給出了x與函數(shù)y=x2+bx+c的一些對應(yīng)值:
x0136
y50-45
(1)請根據(jù)表格求出y=x2+bx+c的解析式;
(2)寫出拋物線y=x2+bx+c的對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)求出y=x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(4)畫出y=x2+bx+c的大致圖象,并結(jié)合圖象指出,當(dāng)y<0,x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y=(x-3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)連結(jié)BD,CD,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.
①若線段BD上一點(diǎn)P,使∠DCP=∠BDE,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
②若拋物線上一點(diǎn)M,作MN⊥CD,交直線CD于點(diǎn)N,使∠CMN=∠BDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),已知BCx軸,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,且AC=BC,過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點(diǎn)A在x軸上,OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式;
(3)在此拋物線的對稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

定義{a,b,c}為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”.如:函數(shù)y=x2-2x+3的“特征數(shù)”是{1,-2,3},函數(shù)y=2x+3的“特征數(shù)”是{0,2,3},函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是{0,-1,0}
(1)將“特征數(shù)”是{1,-4,1}的函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位,得到一個(gè)新函數(shù)圖象,求這個(gè)新函數(shù)圖象的解析式;
(2)“特征數(shù)”是{0,-
3
3
,
3
}
的函數(shù)圖象與x、y軸分別交點(diǎn)C、D,“特征數(shù)”是{0,-
3
,
3
}
的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)O是原點(diǎn),判斷△ODC與△OED是否相似,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,過A、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c上有一點(diǎn)M,已知A(-1,0),C(0,-2),
(1)這個(gè)拋物線的解析式為______;
(2)作⊙M與直線AC相切,切點(diǎn)為C,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=x2-2x+n與x軸交于不同的兩點(diǎn)A,B,其頂點(diǎn)是C,D是拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求線段AB的長;
(4)若直線y=
2
x+1分別交x軸于E,交y軸于F,問△BDC與△EOF是否有可能全等?如果有可能全等請給出證明;如果不可能全等請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某商場試銷一種成本為每件60元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)存在一次函數(shù)關(guān)系:y=-x+120.
(1)若商場要想獲得800元的利潤,則銷售單價(jià)應(yīng)是多少元?
(2)若設(shè)該商場獲得利潤為W元,當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),商場可獲得最大利潤,最大利潤是多少元?

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同步練習(xí)冊答案