在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-
m-4
8
x2+
2m-7
3
x+m2-6m+8
經(jīng)過原點O,點B(-2,n)在這條拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將直線y=-2x沿y軸向下平移b個單位后得到直線l,若直線l經(jīng)過B點,求n、b的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點C,直線l與y軸交于點D,且與拋物線的對稱軸交于點E.若P是拋物線上一點,且PB=PE,求P點的坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=-
m-4
8
x2+
2m-7
3
x+m2-6m+8
經(jīng)過原點,
∴m2-6m+8=0.
解得m1=2,m2=4.
由題意知m≠4,
∴m=2.
∴拋物線的解析式為y=
1
4
x2-x


(2)∵點B(-2,n)在拋物線y=
1
4
x2-x
上,
∴n=3.
∴B點的坐標(biāo)為(-2,3).
∵直線l的解析式為y=-2x-b,直線l經(jīng)過B點,
∴3=-2(-2)-b.
∴b=1.

(3)∵拋物線y=
1
4
x2-x
的對稱軸為直線x=2,直線l的解析式為y=-2x-1,
∴拋物線y=
1
4
x2-x
的對稱軸與x軸的交點C的坐標(biāo)為(2,0),
直線l與y軸、直線x=2的交點坐標(biāo)分別為D(0,-1)、E(2,-5).
過點B作BG⊥直線x=2于G,與y軸交于F.
則BG=4.
在Rt△BGC中,CB=
CG2+BG2
=5

∵CE=5,∴CB=CE.
過點E作EH⊥y軸于H.
則點H的坐標(biāo)為(0,-5).
∵點F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°,
∵在△DFB和△DHE中
DF=DH
∠BFD=∠EHD
BF=EH

∴△DFB≌△DHE(SAS).
∴DB=DE.
∵PB=PE,
∴點P在直線CD上.
∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+a.
將D(0,-1)、C(2,0)代入,
a=-1
2k+a=0.

解得
a=-1
k=
1
2
.

∴直線CD的解析式為y=
1
2
x-1

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,
1
4
x2-x
),
1
2
x-1
=
1
4
x2-x

解得x1=3+
5
,x2=3-
5

y1=
1+
5
2
,y2=
1-
5
2

∴點P的坐標(biāo)為(3+
5
1+
5
2
)或(3-
5
,
1-
5
2
).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點A在x軸上,OA=4,將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式;
(3)在此拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

拋物線的圖象如圖,則它的函數(shù)表達(dá)式是______.當(dāng)x______時,y>0.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=ax2+4ax+t(a>0)交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點E,點B的坐標(biāo)為(-1,0).
(1)求拋物線的對稱軸及點A的坐標(biāo);
(2)過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P,你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形?并證明你的結(jié)論;
(3)連接CA與拋物線的對稱軸交于點D,當(dāng)∠APD=∠ACP時,求拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,過A、C兩點的拋物線y=x2+bx+c上有一點M,已知A(-1,0),C(0,-2),
(1)這個拋物線的解析式為______;
(2)作⊙M與直線AC相切,切點為C,則M點的坐標(biāo)為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3,0),B(1,0),C(3,6)三點,且與y軸交于點E.(1)求拋物線的解析式;
(2)若點F的坐標(biāo)為(0,-
1
2
),直線BF交拋物線于另一點P,試比較△AFO與△PEF的周長的大小,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-4ax+c(a≠0)經(jīng)過A(0,-1),B(5,0)兩點,點P是拋物線上的一個動點,且位于直線AB的下方(不與A,B重合),過點P作直線PQ⊥x軸,交AB于點Q,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求a,c的值;
(2)設(shè)PQ的長為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,寫出m的取值范圍;
(3)以PQ為直徑的圓與拋物線的對稱軸l有哪些位置關(guān)系?并寫出對應(yīng)的m取值范圍.(不必寫過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某商店將進(jìn)價為100元的某商品按120元的價格出售,可賣出300個;若商店在120元的基礎(chǔ)上每漲價1元,就要少賣10個,而每降價1元,就可多賣30個.
(1)求所獲利潤y(元)與售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為獲利最大,商店應(yīng)將價格定為多少元?
(3)為了讓利顧客,在利潤相同的情況下,請為商店選擇正確的出售方式,并求出此時的售價.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣,售價P(元/件)與月銷售量x(件)之間的關(guān)系為P=160-2x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.
(1)該廠的月產(chǎn)量為多大時,獲得的月利潤為1300元?
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時,可獲得最大月利潤?最大利潤是多少元?

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同步練習(xí)冊答案