Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，tan∠OAB=

3

．
（1）求這直線的解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，求以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸的交點(diǎn)為E．試判斷△ODE是否與△OAB相似？如果認(rèn)為相似，請(qǐng)加以證明；如果認(rèn)為不相似，也請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（3，0），
∴OA=3．
∵tan∠OAB=

3

，
即

OB

OA

=

3

，
∴OB=3

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3

3

），
又∵直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3

3

），
代入求出直線的解析式為y=-

3

x+3

3

，
答：直線的解析式為y=-

3

x+3

3

．

（2）由題意，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，3

3

），
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-6）²+3

3

，
把A的坐標(biāo)代入求出a=-

3

3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

3

3

（x-6）²+3

3

，
答：所求拋物線的解析式為y=-

3

3

（x-6）²+3

3

．

（3）答：相似．
證明：由（2），拋物線y=-

3

3

（x-6）²+3

3

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D（9，0），與y軸的交點(diǎn)為
E（0，-9

3

）．
∴OD=9，OE=9

3

，
在△ODE與△OAB中，
∵∠DOE=∠AOB=90°，
且OD：OA=OE：OB，
∴△ODE∽△OAB．