Question

如圖，兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,等腰直角三角形

專題：證明題,壓軸題,探究型

分析：△EMC的形狀是等腰直角三角形，求出∠DAB=90°，AD=AB，推出AM⊥BD，AM=BM=DM，求出∠MBC=∠MAE，BM=AM，證△BCM≌△AEM，推出EM=CM，∠3=∠2，求出∠1+∠3=90°即可．

解答：解：△EMC的形狀是等腰直角三角形，
理由是：
連接AM，
∵∠8=30°，∠9=60°，
∴∠DAB=180°-30°-60°=90°，
∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，AD=AB（已知兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起），
∴AM⊥BD（等腰三角形底邊的高也平分底邊）
AM=BM=DM（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）
∴∠5=∠6=

1

2

（180°-90°）=45°，∠4=∠BDA=45°，
∵∠7=30°，
∴∠MBC=45°+30°=75°，
同理∠MAE=75°=∠MBC，
在△BCM和△AEM中

BM=AM ∠MBC=∠MAE BC=AE

，
∴△BCM≌△AEM（SAS），
∴EM=CM，∠3=∠2，
∵AM⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線等知識點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．