Question

在正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，過B點作BG⊥AE于點G，交AC于H，交CD于點F．
（1）求證：點F為邊DC的中點；
（2）如果正方形的邊長為4，求CH的長度；
（3）如果點M是BC上的一點，且AM=MC+CD，探究∠MAD與∠BAE有怎樣的數量關系，說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用BG⊥AE，得出∠AGB=90°，進而得出∠BAG=∠GBE，利用AAS得出△ABE≌△BCF，即可得出點F為邊DC的中點；
（2）根據AB∥CD，得出CH：HA=CF：AB，由（1）知CF=

1

2

AB，得出CH：HA=CF：AB=1：2，進而得出CH的長度；
（3）首先證明△ADF≌△NCF，得出CN=AD，∠N=∠FAD，進而得出∠MAD=∠AMB=2∠DAF，再求出△ABE≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAE，∠MAD=2∠BAE．

解答：解：（1）證明：∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∠ABG+∠GBE=90°，
∴∠BAG=∠GBE，
即

∠BAG=∠GBE ∠AGB=∠BCF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，
∵點E是BC邊的中點，
∴BE=

1

2

BC，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

CD，
∴點F為邊CD的中點；

（2）∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=

AB2+BC2

=

32

=4

2

，
∵在正方形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴CH：HA=CF：AB，
由（1）知CF=

1

2

AB，
∴CH：HA=CF：AB=1：2，
∴CH=

1

2

AH=

1

3

AC=

4 2

3

；

（3）∠MAD=2∠BAE，
理由如下：
連接AF并延長交BC的延長線于點N，
∵點F為邊DC的中點，AD∥BC，
∴DF=FC，∠DAF=∠FNC，
∵∠D=∠FCN，
∴△ADF≌△NCF，
∴CN=AD，∠N=∠FAD，
∵在正方形ABCD中，
∴AD=DC=CN，
∵AM=MC+CD，
∴MC+CN=MC+CD=NM，
∴AM=MN，
∴∠N=∠MAN，
∴∠MAD=∠AMB=2∠DAF，
由（1）可知點F為CD的中點，
∴DF=BE，∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD，
∴

AD=AB ∠ADF=∠ABE BE=DF

，
△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF=∠BAE，
∴∠MAD=2∠BAE．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的性質與判定，熟練利用全等三角形的性質得出對應角與邊之間關系是解題關鍵．