Question

已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F．
（1）求證：EF=AF；
（2）求AF的長．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）求出EA是BD垂直平分線，求出∠DEB，求出∠EDA，求出∠EAF=∠FEA=45°，即可得出答案；
（2）由勾股定理求出BD=2

2

，即ED=BD=2

2

，設AF=EF=x，在Rt△EFD中，由勾股定理得出方程（2

2

）²=x²+（2+x）²，求出即可．

解答：（1）證明：連接EA，且延長交BD于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分線上，
∵三角形BDE是等邊三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分線上，
∴AE是BD的垂直平分線，
∴∠DEO=

1

2

∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=45°=∠EAF，
∴EF=AF．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD=2

2

，
即ED=BD=2

2

，
設AF=EF=x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED²=EF²+FD²，
∴（2

2

）²=x²+（2+x）²，
x₁=-1-

3

（是負數，不符合題意舍去），x₂=-1+

3

，
即AF=-1+

3

．

點評：本題考查了線段垂直平分線性質，等邊三角形性質，等腰三角形性質，正方形性質，勾股定理的應用，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力．