7.已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點A,C的坐標(biāo)分別為A(-3,0),C(1,0),$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$,
(1)求直線AB的解析式;
(2)在x軸上確定一點D,連接DB,使得△ADB與△ABC相似,并求出點D的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,如P,Q分別是AB和AD上的動點,連接PQ,設(shè)AP=DQ=m,問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似?如存在,請直接寫出m的值;如不存在,請說明理由.

分析 (1)先根據(jù)A(-3,1),C(1,0),求出AC進而得出BC=3求出B點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可;
(2)運用相似三角形的性質(zhì)就可求出點D的坐標(biāo);
(3)①由于△APQ與△ADB已有一組公共角相等,只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB兩種情況討論,然后運用相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于m的方程,就可解決問題,
②當(dāng)點D和C重合時,同①的方法可得;

解答 解:(1)∵A(-3,0),C(1,0),
∴AC=4,
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$,
∴BC=$\frac{3}{4}$×4=3,
∴B(1,3),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$,
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$

(2)若△ADB與△ABC相似,
①當(dāng)點D與C重合時,△ADB∽△ABC,此時D(1,0),
②過點B作BD⊥AB交x軸于D,∴∠ABD=∠ACB=90°,如圖1,

此時$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,即AB2=AC•AD.
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∴25=4AD,
∴AD=$\frac{25}{4}$,
∴OD=AD-AO=$\frac{25}{4}$-3=$\frac{13}{4}$,
∴點D的坐標(biāo)為($\frac{13}{4}$,0).即:符合條件的D($\frac{13}{4}$,0)和(1,0)

(3)∵AP=DQ=m,
∴AQ=AD-QD=$\frac{25}{4}$-m.
Ⅰ、若△APQ∽△ABD,如圖2,

則有$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AD}$,
∴AP•AD=AB•AQ,
∴$\frac{25}{4}$m=5($\frac{25}{4}$-m),
解得m=$\frac{25}{9}$.
Ⅱ、若△APQ∽△ADB,如圖3,

則有$\frac{AP}{AD}=\frac{AQ}{AB}$,
∴AP•AB=AD•AQ,
∴5m=$\frac{25}{4}$($\frac{25}{4}$-m),
解得:m=$\frac{125}{36}$,
②當(dāng)點D與C重合時,可得m=$\frac{16}{9}$或m=$\frac{20}{9}$.
綜上所述:符合要求的m的值為$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$或$\frac{16}{9}$或$\frac{20}{9}$.

點評 此題是相似形綜合題,主要考查了是待定系數(shù)法,涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題,解本題的關(guān)鍵是關(guān)鍵相似建立方程求解.

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分?jǐn)?shù):{-$\frac{7}{3}$,3.14,0.24…}
負實數(shù):{-$\frac{7}{3}$,$\root{3}{-27}$,-$\frac{\sqrt{6}}{2}$,0.24,(-2)2016,-52…}
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