5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O為AB邊上的一點,且tanB=$\frac{1}{2}$,點D為AC邊上的動點(不與點A,C重合),將線段OD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,交BC于點E.
(1)如圖1,若O為AB邊中點,D為AC邊中點,則$\frac{OE}{OD}$的值為$\frac{1}{2}$;
(2)若O為AB邊中點,D不是AC邊的中點,
①請根據(jù)題意將圖2補全;
②小軍通過觀察、實驗,提出猜想:點D在AC邊上運動的過程中,(1)中$\frac{OE}{OD}$的值不變.小軍把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成了求$\frac{OE}{OD}$的值的幾種想法:
想法1:過點O作OF⊥AB交BC于點F,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證明△OEF∽△ODA.
想法2:分別取AC,BC的中點H,G,連接OH,OG,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證明△OGE∽△OHD.
想法3:連接OC,DE,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證C,D,O,E四點共圓.

請你參考上面的想法,幫助小軍寫出求$\frac{OE}{OD}$的值的過程?(一種方法即可);
(3)若$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$(n≥2且n為正整數(shù)),則$\frac{OE}{OD}$的值為$\frac{1}{2n-2}$(用含n的式子表示).

分析 (1)根據(jù)O為AB邊中點,D為AC邊中點,得出四邊形CDOE是矩形,再根據(jù)tanB=$\frac{1}{2}$=tan∠AOD,得出$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$,進而得到$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$;
(2)①根據(jù)題意將圖2補全即可;②法1:過點O作OF⊥AB交BC于點F,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證明△OEF∽△ODA;法2:分別取AC,BC的中點H,G,連接OH,OG,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證明△OGE∽△OHD;法3:連接OC,DE,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證C,D,O,E四點共圓.分別根據(jù)三種方法進行解答即可;
(3)先過點O作OF⊥AB交BC于點F,要求$\frac{OE}{OD}$的值,需證明△OEF∽△ODA,得出$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$,再根據(jù)$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$(n≥2且n為正整數(shù)),得到$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{2n-2}$即可.

解答 解:(1)如圖1,∵O為AB邊中點,D為AC邊中點,
∴OD∥BC,∠CDO=90°,
又∵∠ACB=90°,∠DOE=90°,
∴四邊形CDOE是矩形,
∴OE=CD=AD,
∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠B,
∴tanB=$\frac{1}{2}$=tan∠AOD,即$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$.
故答案為:$\frac{1}{2}$;

(2)①如圖所示:

②法1:如圖,過點O作OF⊥AB交BC于點F,

∵∠DOE=90°,
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°,
∴∠AOD=∠FOE,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°,
∴∠A=∠OFE,
∴△OEF∽△ODA,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$,
∵O為AB邊中點,
∴OA=OB.
在Rt△FOB中,tanB=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$;

法2:如圖,分別取AC,BC的中點H,G,連接OH,OG,

∵O為AB邊中點,
∴OH∥BC,OH=$\frac{1}{2}BC$,OG∥AC.
∵∠ACB=90°,
∴∠OHD=∠OGE=90°,
∴∠HOG=90°,
∵∠DOE=90°,
∴∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90°,
∴∠HOD=∠GOE,
∴△OGE∽△OHD,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OH}$,
∵tanB=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OG}{GB}=\frac{1}{2}$,
∵OH=GB,
∴$\frac{OG}{OH}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$;

法3:如圖,連接OC,DE,

∵∠ACB=90°,∠DOE=90°,
∴DE的中點到點C,D,O,E的距離相等,
∴C,D,O,E四點共圓,
∴∠ODE=∠OCE,
∵O為AB邊中點,
∴OC=OB,
∴∠B=∠OCE,
∴∠ODE=∠B,
∵tanB=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$;

(3)如圖所示,過點O作OF⊥AB交BC于點F,

∵∠DOE=90°,
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°,
∴∠AOD=∠FOE.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°,
∴∠A=∠OFE,
∴△OEF∽△ODA,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$,
∵$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$,
∴可設(shè)OB=1,則AB=n,AO=n-1,
∵在Rt△FOB中,tanB=$\frac{1}{2}$,
∴OF=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{\frac{1}{2}}{n-1}$=$\frac{1}{2n-2}$,
∴$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2n-2}$.
故答案為:$\frac{1}{2n-2}$.

點評 本題屬于相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形;或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合;或作輔助線構(gòu)造相似三角形,判定三角形相似的方法有時可單獨使用,有時需要綜合運用.

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小敏說:點C在線段AB上,即x取-5,1之間的有理數(shù)(包括-5,1),因此相應(yīng)x的取值范圍可表示為-5≤x≤1時,最小值為6.
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