Question

請(qǐng)閱讀下列材料：
實(shí)際問(wèn)題：如圖（1），一圓柱的底面半徑為5厘米，BC是底面直徑，高AB為5厘米，求一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線，小明設(shè)計(jì)了兩條路線．
解決方案：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC，如圖（2）所示，設(shè)路線l的長(zhǎng)度為l₁：則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC，如圖（1）所示．
設(shè)路線2的長(zhǎng)度為l₂：則l₂=AB+BC=5+10=15，l₂²=225．
為比較l₁，l₂的大小，我們采用如下方法：
∵l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0．
∴l(xiāng)₁²＞l₂²，所以l₁＞l₂，
小明認(rèn)為應(yīng)選擇路線2較短．
（1）問(wèn)題類比：
小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1厘米，高AB為5厘米．”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：
路線1：l₁²=AC²=

 

；
路線2：l₂=AB+BC=

 

，l₂²=

 

．
∵l₁²

 

l₂²，∴l(xiāng)₁

 

l₂（填“＞”或“＜”）
∴小亮認(rèn)為應(yīng)選擇路線

 

（填1或2）較短．
（2）問(wèn)題拓展：
請(qǐng)你幫小明和小亮繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r厘米時(shí)，高為h厘米，螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C，
路線1：l₁²=

 

；
路線2：l₂²=

 

．
當(dāng)

r

h

滿足什么條件時(shí)，選擇的路2最短？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）問(wèn)題解決：
如圖（3）為2個(gè)相同的圓柱緊密排列在一起，高為5厘米，當(dāng)圓柱的底面半徑r（厘米）=

 

時(shí)，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的兩條線段相等（注：按上面小明所設(shè)計(jì)的兩條路線方式）．

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問(wèn)題

專題：

分析：（1）由閱讀材料，可知路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=高²+底面周長(zhǎng)一半²；路線2：l₂²=（高線AB+底面直徑BC）²；將數(shù)據(jù)代入即可求出l₁²、l₂²的值，再運(yùn)用差比法即可得出l₁＜l₂；
（2）先根據(jù)閱讀材料用含h、r的代數(shù)式分別表示l₁²、l₂²，再由l₁²＞l₂²列出關(guān)于h、r的不等式，解不等式即可求解；
（3）先根據(jù)閱讀材料將h=5代入，用含r的代數(shù)式分別表示l₁²、l₂²，再由l₁²=l₂²列出關(guān)于r的方程，解方程即可．

解答：解：（1）如圖（2）．
∵圓柱的底面半徑為1厘米，高AB為5厘米，
∴路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=25+π²；
路線2：l₂=AB+BC=5+2=7，l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²-l₂²=25+π²-49=π²-24＜0，
∴l(xiāng)₁²＜l₂²，
∴l(xiāng)₁＜l₂，
∴選擇路線1較短；

（2）如圖（2）．
∵圓柱的底面半徑為r厘米，高為h厘米，
∴路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²=h²+π²r²，
路線2：l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
∴l(xiāng)₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
∵r恒大于0，
∴當(dāng)（π²-4）r-4h＞0，即

r

h

＞

4

π2-4

時(shí)，l₁²＞l₂²，即此時(shí)選擇的路2最短；

（3）如圖（3），圓柱的高為5厘米．
l₁²=AC²=AB²+BC²=25+（2πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（5+4r）²，
由題意，得25+（2πr）²=（5+4r）²，
解得r=

10

π2-4

．
即當(dāng)圓柱的底面半徑r為

10

π2-4

厘米時(shí)，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的兩條線段相等．
故答案為：25+π²，7，49，＜，＜1；h²+π²r²，（h+2r）²；

10

π2-4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題，比較兩個(gè)式子的大小，通常利用差比法，這里讓這兩個(gè)式子的平方相減．同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀理解能力，知識(shí)的遷移能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．