Question

（a）在一次考試中，已知至少有三分之二的題目屬于難題．在這些難題中，每一道題至少有三分之二的學(xué)生不會(huì)作．請(qǐng)問(wèn)下列情況是否可能發(fā)生：至少答對(duì)三分之二題數(shù)的學(xué)生人數(shù)不少于全部考生人數(shù)的三分之二．
（b）承（a），若將其中所有的“三分之二”換成“四分之三”呢？
（c）承（a），若將其中所有的“三分之二”換成“十分之七”呢？

Answer 1

考點(diǎn)：可能性的大小

專(zhuān)題：存在型

分析：（a）由于題目中未知條件較多，故假定簡(jiǎn)單題那三分之一全班都做出來(lái)了，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化化為“是否可能對(duì)于所有的難題，至少有三分之二的學(xué)生答對(duì)了這所有的難題的一半”，再進(jìn)行推理．
（b）、（c）與（1）類(lèi)似．

解答：解：（a）假定簡(jiǎn)單題那三分之一全班都做出來(lái)了，那么問(wèn)題就變成：是否可能對(duì)于所有的難題，至少有三分之二的學(xué)生答對(duì)了這所有的難題的一半．因?yàn)槊恳坏离y題至少有三分之二的學(xué)生不會(huì)作，也就是至多有三分之一的學(xué)生會(huì)做，不妨設(shè)會(huì)做的一定能答對(duì)，那么就是至多有三分之一的學(xué)生能答對(duì)．取最大可能，就是對(duì)于每一道難題，總會(huì)有三分之一的學(xué)生能答對(duì)．
所以，對(duì)于n道難題，將n平分到兩個(gè)

1

3

學(xué)生的群體中（即

2

3

的學(xué)生平分為兩組），每組都答對(duì)了

n

2

道題，即答對(duì)了所有的難題的一半．
綜上，“至少答對(duì)三分之二題數(shù)的學(xué)生人數(shù)不少于全部考生人數(shù)的三分之二”是可能發(fā)生的，
對(duì)于（b），（c），用同樣的方法可以得到結(jié)果：都不會(huì)發(fā)生；
對(duì)于小于

2

3

的情況，都有可能；
對(duì)于大于

2

3

的情況，都不可能，（b），（c）就屬于這一類(lèi)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了可能性的大小，解題關(guān)鍵是用假設(shè)法得出滿(mǎn)足條件的最大可能情況，從而進(jìn)行判斷．